CodeForces - 868F Yet Another Minimization Problem

Posted 2020-11-18 aziint

Description

给定一个长度为 (n(nle 10^5)) 的数列，第 (i) 个数是 (a_iin[1,n]) ，要求将其划分为 (k(2le kle min(20,n))) 段以后每段价值和最小。

定义一段的价值为该段相同数的数对个数。

Solution

定义 (calc(l,r)) 为 ([l,r]) 这一段的价值， (dp[j][i]) 为前 (i) 个数划分为 (j) 段的最小价值。那么显然有

[ dp[j][i]=min{dp[j-1][i']+calc(i'+1,i),i'<i} ]

因为 (dp[j][i]) 仅由 (dp[j-1][i']) 转移来，不妨设 (j) 固定。

令 (f(i)) 表示 (i) 对应的最优决策点 (i') 。打表不难发现 (f(i)) 单调递增。

考虑分治。(solve(l,r,L,R)) 表示对于 (iin [l,r]) ，有 (f(i)in {L,R}) 。枚举出 (mid=cfrac{l+r}{2}) 的决策点 (f(mid)) 后分治 (solve(l,mid-1,L,f(mid))) ，(solve(mid+1,r,f(mid),R)) 即可。

对于 (calc(l,r)) ，因为 (l) 和 (r) 的每次移动后都可以 (O(1)) 计算答案，所以可以莫队。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template <class T> inline void read(T &x) {
    x = 0; static char ch = getchar(); for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar());
    for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) (x *= 10) += ch - '0';
}

#define N 100001
#define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define ll long long

const ll INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f, P = 1e9 + 7;
int n, K, a[N], now, nxt = 1, lf = 1, ri, cnt[N];
ll dp[2][N], sum;

inline void calc(int l, int r) {
    while (ri < r) sum += cnt[a[++ri]], cnt[a[ri]]++;
    while (ri > r) cnt[a[ri]]--, sum -= cnt[a[ri--]];
    while (lf > l) sum += cnt[a[--lf]], cnt[a[lf]]++;
    while (lf < l) cnt[a[lf]]--, sum -= cnt[a[lf++]];
}

#define mid (l + r >> 1)
void solve(int l, int r, int L, int R) {
    if (l > r) return;
    dp[nxt][mid] = INF;
    int t;
    rep(i, L, min(mid, R)) {
        calc(i, mid);
        if (dp[nxt][mid] > dp[now][i - 1] + sum) dp[nxt][mid] = dp[now][i - 1] + sum, t = i;
    }
    solve(l, mid - 1, L, t), solve(mid + 1, r, t, R);
}

int main() {
    read(n), read(K);
    rep(i, 1, n) read(a[i]);
    memset(dp, INF, sizeof dp); dp[now][0] = 0;
    while (K--) solve(1, n, 1, n), swap(now, nxt);
    printf("%lld", dp[now][n]);
    return 0;
}