石子游戏 IX——一场关于模运算加和规律的博弈

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了石子游戏 IX——一场关于模运算加和规律的博弈相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

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题目描述


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题目解析

假设先手者名为 A ,后手者名为 B

由于只关注是否取完 和 数字和是否 %3==0,我们把这题要取的数字分为三种:

  1. %3==0 的数字( 0类型 ):只要不是第一次取数,并不会对整个数字的和模产生任何影响。

  2. %3 ==1 的数字( 1类型 ):一旦数字和的模已经是2,则游戏结束,只有数字和的模为1才能继续游戏。

  3. %3==2 的数字( 2类型 ):同上个类型,只有数字和的模与当前数字的模相同才能继续游戏。

根据以上分析:

一、若 0类型 的数字为偶数个,由于 A 先手必不可能选择这类数字,所以 0类型 的数字不会对结果产生任何影响

  • 1类型2类型 的数字个数都不为0。则 A 只要先手选到数字更少的那一类,那么就必胜!为什么必胜呢?举个例子假设有 1 1 2 2 2这样的数字,那么 A 选了1后, B 就只能跟着选1,而之后 A 就只能选2。很明显 A 除了第一次选了偏少的那一堆的一个元素以外,其余都是取的偏多的那一堆元素里的数,而 B 只能取偏少的那一堆元素里的数。故总结出整个取数过程除了 A 第一次选择,实际上就是一个对拼消耗的过程,拿着资源数量更多的 A 和拿着资源数量更少的 B 进行对拼消耗,最先消耗完的肯定就是 B 了,则此时 B 就只能被迫选择 A 的那一堆使得和为3的倍数了,最终 A 获胜。
  • 1类型 或者 2类型 的数字个数为0,那么无论如何都无法逃离 A 输掉的命运。如果个数不为0的数字个数大于3个, A 先手取数,故 A 一定是第三个取到它的, A 输,而其他情况则因为数字取完而输掉比赛。

二、若 0类型 的数字个数为奇数个,同样由于 A 不可能先手取这类数字,但这次由于这类数字是奇数个,可以多出一个来用于替 B 挡灾。

  • 具体如何使用这个来挡灾呢?
    我们先假设 1类型2类型 的个数是相等的,此时我们的 A 无论以谁起手都是一样的,假设以 1类型 的情况起手,按理来说,接下来 A 都是通过消耗 2类型 的个数来打消耗战,但此时 B 有了额外的一个 0类型 的替身,所以 B 这一轮可以选择不跟 A ,而选择 0类型 ,那么从此 A 就只能选择 1类型 去进行消耗了,于是身份便互换了,假设 1类型2类型 的数字数量开始是 N ,那么这身份互换后的结果就是:拿着数量为N-1的 1类型A 与拿着数量更多的 2类型B 进行对拼消耗,最终的结果肯定是 B 胜。

根据以上互换身份的原理, A 在这种情况下,只有选数量多的才能有一线生机,而且至少要比 B 多三份物资,原因在于:

  1. 发生转化的过程还是要消耗掉 1 个
  2. 想要让 A 赢,除了让 BM 个物资消耗完以外,A 自身还需要留下一份物资供 B 产生3的倍数
  3. 此时的对拼消耗过程中 A 处于先手消耗,想要轮到 B 的回合则永远会多消耗一个物资,如 A:2 2 2,B:1 1,对拼过程中明显无法回到B就消耗完了。

假设此时 A 选择的这个类型有 N 个,对方的有 M 个,故只要满足 N − 3 > = M N-3>=M N3>=MA 必胜,否则还是 B 胜。

因为上面的 N 和 M 所代表的只是 1类型2类型 中数量多和少的类型。故放入题中需要满足的就是 1类型2类型 之间的数量差大于等于3

解题代码

class Solution 
public:
    bool stoneGameIX(vector<int>& stones) 
        int cnt[3];
        for (int val: stones) 
            cnt[val%3]++;
        
        if (cnt[0] % 2 == 0) //TODO 0类型为偶数的情况
            return cnt[1] >= 1 && cnt[2] >= 1;
        
        return cnt[1] - cnt[2] >= 3 || cnt[2] - cnt[1] >= 3;//TODO 0类型为奇数的情况
    
;

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