『数据结构与算法』之时间复杂度与空间复杂度，看这一篇就够啦

Posted 2022-02-05 快乐的小何~

⭐️大一新生小何，还在学习当中，欢迎交流指正~

 

 

 

目录

前言

一、复杂度分析

二、时间复杂度

1.大o表示法

2.时间复杂度分析

• 三、空间复杂度
  • 1.空间复杂度分析
  • 2.常见空间复杂度
• 总结

前言

     复杂度分析是数据结构和算法中最重要的知识点，毫不夸张的说，这就是数据结构与算法学习的核心所在。你学会了它你就入的了门，你学不会它，你就永远不知道门儿在哪。学习数据结构与算法的第一课，一定要选复杂度分析，所以，在我看来，这是数据结构与算法中最重要的知识点，且不接受任何反驳

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一、复杂度分析

它的出现是想着花更少的时间和更少的存储来解决问题

为了“更少的时间和更少的存储”，复杂度分析为此而生。
简单来说，就是你需要提前写好算法代码和编好测试数据，然后在计算机上跑，通过最后得出的运行时间判断算法时效的高低，这里的运行时间就是我们日常的时间

事后统计法太依赖计算机的软件和硬件等性能。代码在 不同处理器运算速度不同，更不用说不同的操作系统、不同的编程语言等软件方面，就算是在同一台电脑上，用的所有的东西都一样，内存的占用或者是 CPU 的使用率也会造成运行时间的差异

可以看出，我们需要一个不依赖于性能和规模等外力影响就可以估算算法效率、判断算法优劣的度量指标，而复杂度分析天生就是干这个的，这也是为什么我们要学习并必须学会复杂度分析！

二、时间复杂度

1.大o表示法

时间复杂度，也就是指算法的运行时间

大 O 表示法，表示的是算法有多快。（也读作big O）

这个多快，不是说算法代码真正的运行时间，而是代表着一种趋势，一种随着数据集的规模增大，算法代码运行时间变化的一种趋势。用O表示时间复杂度，一般记作 Ｏ(f(n))。

有T(n) = O(f(n))，其中 f(n) 是算法代码执行的总步数，也叫操作数。

 

n 作为数据集大小，它可以取 1，10，100，1000 或者更大更大更大的数，到这你就会发现一件很有意思的事儿，那就是当数据集越来越大时，你会发现代码中的某些部分“失效”了。

当 n = 1000 时，1 + 2n = 2001，当 n = 10000 时，1 + 2n = 20001，当这个 n 持续增大时，常数 1 和系数 2 对于最后的结果越来越没存在感，即对趋势的变化影响不大。所以不要低阶项，只要高阶项，而且忽略高阶项上的系数。

所以对于我们这段代码样例，最终的 T(n) = O(n)。

2.时间复杂度分析

首先看一个例子

O(n)

for(i=0; i<n; i++)

   j = i;
   j++;

 

由公式，f（n）表示每行代码执行次数之和，与O成正比例关系，可以知道这段代码的时间复杂度为O（n）。此外，如果n无限大的时候，T(n) = time(1+2n)中的常量1就没有意义了，倍数2也意义不大。因此直接简化为T(n) = O(n) 就可以了。

这里列举一些常见的时间复杂度

时间复杂度	阶	f(n) 举例
常数复杂度	O(1)	1
对数复杂度	O(logn)	logn + 1
线性复杂度	O(n)	n + 1
线性对数复杂度	O(nlogn)	nlogn + 1
k 次复杂度	O(n²)、O(n³)、....	n² + n +1
指数复杂度	O(2^n)	2^n + 1
阶乘复杂度	O(n!)	n! + 1

 上表的时间复杂度由上往下依次增加

这里选取一些常见的进行讲解

O(1) 

O(1) 是常数时间复杂度。

在这你要先明白一个概念，不是只执行 1 次的代码的时间复杂度记为 O(1)，只要你是常数，像 O(2)、O(3) ... O(100000) 在复杂度的表示上都是 O(1)。

n = 10000
xiaohe = n / 2 
print(xiaohe)

比如像上面这段代码，它运行了 3 次，但是它的时间复杂度记为 O(1)，而不是 O(3)。

因为无论 n 等于多少，对于它们每行代码来说还是只是执行了一次，代码的执行时间不随 n 的变化而变化。

O(logn)

O(logn) 是对数时间复杂度。首先我们来看一段代码：

int i;
while(i<n)

    i=i*2

上面的代码翻译一下就是初始化 i = 1， 乘上多少个 2 以后会 ≥ n。

假设需要 x 个，那么相当于求：

即

所以上述代码的时间复杂度应该为 O(log2n)。

但是对于对数复杂度来说，不管你是以 2、3 为底，还是以 10 为底，通通记作 O(logn)，这是为什么呢？

这就要从对数的换底公式说起了

。

根据换底公式，log2n 可以写成：

而对于时间复杂度来说：

所以在对数时间复杂度中我们就忽略了底，直接用 O(logn) 来表示对数时间复杂度。

 O(nlogn)

直接对上面的代码进行修改

for(hhh=1; hhh<n; hhh++)

    i = 1;
    while(i<n)
    
        i = i * 2;
    

 其实很好懂，线性对数阶O（nlogN）就是将复杂度为O(logn)的代码循环n遍，复杂度即n*O(logN)

，也就是 O(nlogn)啦

 O(n^2)

这个就很好理解啦，即把O(n)的代码再循环一遍，这段代码是两层循环嵌套啦

for(i=0;j<n;i++)

    for(j=0;j<n;j++)
    
        m=j;
        m++;
    

它的时间复杂度就是 O(n*n)，即 O(n²)

同理，O(n^3)就相当于三层循环

最好情况时间复杂度

 最好情况就是在最理想的情况下，代码的时间复杂度。

典例：冒泡排序

如果将数组里的这些数从小到大排序，

首先，列举一般情况

视频笔记

 

 最好的情况：

这个时候对应的时间复杂度 O(1) 就是这段代码的最好情况时间复杂度。

 

最坏情况时间复杂度

最坏情况就是在最差的情况下，代码的时间复杂度。 

最坏的情况： 

 还是从小到大排列

这个时候对应的时间复杂度 O(n) 是这段代码的最坏情况时间复杂度。

平均情况时间复杂度

 大多数情况下，代码的执行情况都是介于最好情况和最坏情况之间，所以又出现了平均情况时间复杂度，

最好情况，反应最理想的情况，怎么可能天上天天掉馅饼，没啥参考价值。

平均情况，这倒是能反映算法的全面情况，但是一般“全面”，就和什么都没说一样，也没啥参考价值。

最坏情况，干啥事情都要考虑最坏的结果，因为最坏的结果提供了一种保障，触底的保障，保障代码的运行时间这个就是最差的，不会有比它还差的。

所以，不需要纠结各种情况，算时间复杂度就算最坏的那个时间复杂度即可。

三、空间复杂度

1.空间复杂度分析

其实，空间复杂度相较于时间复杂度来说，需要掌握的内容不多，它反映的也是一种趋势，只不过这种趋势是代码运行过程中临时变量占用的内存空间。

空间复杂度记作 S(n)，表示形式与时间复杂度一致。

 

 

程序执行所需要的临时空间不随着某个变量n的大小而变化，即此算法空间复杂度为一个常量，可以表示为 O(1)

来段j简单的代码

int m=1,n=1;
int s;
s=m+n;

 

由于代码中的量不随数据变化，很直观反映出其空间复杂度为 S(n)=O(1)

2.常见空间复杂度

 O(1)、O(n)、O(n²)是常见的空间复杂度

O(1)如上

O(n)

如果是个一维数组，传入数据n个，那么一维数组的空间复杂度就是O(N),

对于递归来说，递归的深度就是空间复杂度的最大值，深度如果是n，那么空间复杂度就是O(N)
 

O(n²)

如果是个二维数组，同理啦，传入数据n个，那么二维数组的空间复杂度就是O(N)。

当然啦，可以参考这个图

 

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总结

 

• 本文部分参考了知乎上的资料和左程云大神的视频，希望对大家有帮助
• 图片部分用的是 风口浪尖上的猪 的哈哈，强烈推荐大家去看他在知乎上的精彩回答
• 如果有什么疑问或者错误啦，希望大家在评论区提出呀，谢谢！
• 一起加油鸭冲冲冲~