统计复用系统为什么避免不了排队

Posted 2022-01-29 dog250

排队论建模描述排队机理，但某些结论与直觉相悖，并不形象直观，理论如果不能直观解释，只剩下数学推导，并不十分有趣。本文尝试用有趣的方式解释排队。本文虽以数据包为例，但任何可以排队的主体都可作为主语。

所有统计复用系统，均需要buffer用来支持队列，这些系统中，队列是必然存在的。队列的成因有两个：

• 统计波动造成到达与处理时间差。
  到达时间不是均匀的，会有突发，带来波动。
  服务时间不是均匀的，有长有短，放大波动。
• 处理机无法突破时间墙。

一般用sequence/time坐标系来描述队列的产生和消除：

但这类图中无法看到动力学机理，它要么宏观地描述大趋势，要么显示特定时间点的微观细节，对于深入理解队列背后看不见的东西，并不十分有用。

我并非在贬低sequence/time图，相反，我非常喜欢。实际工作中，wireshark的tcptrace图给过我很大的帮助，对于我而言它已经必不可少。只不过在对于理解队列的本质这个单独的层面，我有比sequence/time图更好的东西。

类似于描述无标度系统选用双对数坐标系，可以对“到达/服务”过程做坐标变换，这里采用双时间坐标系：

• 横轴表示到达时间序列，离散的不均匀坐标点表示到达时间。
• 纵轴表示服务时间序列，离散的不均匀坐标点表示服务时间。
• 坐标系中的点坐标表示数据包到达的时间点和处理的时间点。
  
  在双时间坐标系中，$L:T_2=T_1$将平面分为3个区域，$L$本身作为一堵时间墙，意味着$P(t_{arriv},t_{serv})$组成的处理线只能位于$T_2\ge T_1$区域。处理线是所有离散点连接成的包络线：
  
  这意味着即使平均服务速率比平均到达速率高，由于时间墙，无法提前处理潜在产生队列的数据包，只能在统计波动实际发生，队列实际堆积时，才可处理。这就是队列成因的解释。

现在看一个队列产生和消除的实际例子：

这是一张事后分析图，以7号数据包到达时间点为参考，$P_7$表示其到达和被处理时间，直到时间点$m$，双时间坐标一致，处理线收敛到$T_2=T_1$直线，队列消除。

在上述背景下，可以很容易得出结论：

该结论不假设到达过程以及服务过程的任何分布，这是个普遍的结论，在我看来这是位于M/M/1模型之上的。

当看到排队论M/M/1模型结论时，可能有悖于直觉，为什么$\lambda$不能等于$\mu$呢？
$W_q=\frac{\lambda }{\mu (\mu -\lambda )}$

分母不能为0只是数学上的限制，直觉上二者相等是OK的，到达率等于服务率，队列收敛到0。这个看似的悖论在双时间坐标系中却非常显然：

• $\lambda =\mu$时靠统计波动清除队列，属于随机游走常返性，不可预期。
• 排队论M/M/1模型结论描述的是稳定行为，而$\lambda =\mu$不是稳定行为。

预备储备就绪，最后我写了个代码仿真排队情况，和排队论教程不同的是，除了指数分布，我还用正态分布做了实验。

仿真逻辑很简单：

• 子线程1循环对全局变量cnt递增1，模拟排队，中间睡眠随机间隔，可按正态分布，指数分布两种方式随机。
• 子线程2循环对全局变量cnt递减1，模拟出队，中间睡眠随机间隔，可按正态分布，指数分布两种方式随机。
• 主线程每隔1秒打印全局变量cnt的值，该值即当前的队列长度。

代码写的不好，但管用：

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <unistd.h>
#include <pthread.h>
#include <math.h>
#include <float.h>

pthread_mutex_t _mutex, _mutex2;
pthread_cond_t cond1,cond2;

static int cnt = 0, sum1 = 0, sum2 = 0;
static int cnt_add = 0, cnt_dec = 0;

double mean = 0.0, var = 0.0;
double lambda = 0.0;
int type = 0;
int delta = 0;

// Box–Muller
// https://en.wikipedia.org/wiki/Box%E2%80%93Muller_transform#Implementation
double normal(double mean, double var)

        double epsilon = DBL_EPSILON;
        double two_pi = 2*3.141592653589;
        double u1, u2;
        static double z0, z1;
        static unsigned int phase = 0;
        phase ++;
        if (phase % 2 == 0)
                return z1 * var + mean;
        do 
                u1 = ((double)rand())*(1.0/RAND_MAX);
                u2 = ((double)rand())*(1.0/RAND_MAX);
         while (u1 <= epsilon);
        z0 = sqrt(-2.0*log(u1)) * cos(two_pi*u2);
        z1 = sqrt(-2.0*log(u1)) * sin(two_pi*u2);

        return z0 * var + mean;


// https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%88%86%E5%B8%83
double exp(double lambda)

        double x = 0;
        do 
                x = (double)(rand() % 1000)/1000;
         while(x == 0);
        x = (-1/lambda)*log(1.0 - x);

        return x;


void *enqueue(void)

        int secs = 0;
        while (1) 
                double mic;
                pthread_mutex_lock(&_mutex);
                cnt ++;
                cnt_add ++;
                pthread_cond_signal(&cond2);
                pthread_mutex_unlock(&_mutex);
                if (type == 0) 
                        mic = normal(mean, var);
                        if (mic < mean - var) mic = mean - var;
                        if (mic > mean + var) mic = mean + var;
                 else 
                        mic = exp(1.0/lambda);
                
                secs = (int)mic;
                usleep(secs);
                sum1 += mic;
        


void *serve(void)

        int secs = 0;
        while (1) 
                double mic;
                pthread_mutex_lock(&_mutex);
                if (cnt > 0) 
                        cnt --;
                        cnt_dec ++;
                 else 
                        pthread_mutex_unlock(&_mutex);
                        pthread_cond_wait(&cond2,&_mutex2);
                        continue;
                
                pthread_mutex_unlock(&_mutex);
                if (type == 0) 
                        mic = normal(mean, var);
                        if (mic < mean - var) mic = mean - var;
                        if (mic > mean + var) mic = mean + var;
                 else 
                        mic = exp((double)1/lambda);
                
                if (delta != 0) 
                        mic = mic - mic/(double)delta;
                        if (mic < 0) mic = 0;
                
                secs = (int)mic;

                usleep(secs);
                sum2 += mic;
        


int main(int argc, char **argv)

        int ret = 0;
        pthread_t id1, id2;

        type = atoi(argv[1]);
        delta = atoi(argv[2]);
        printf("aaaaa:%d\\n", delta);
        if (type == 0) 
                mean = atoi(argv[3]);
                var = atoi(argv[4]);
         else 
                lambda = atoi(argv[3]);
        

        pthread_mutex_init(&_mutex,NULL);
        pthread_mutex_init(&_mutex2,NULL);
        pthread_create(&id1, NULL, (void*)enqueue, NULL);

        pthread_create(&id2, NULL, (void*)serve, NULL);

        while (1) 
            printf("%d  add:%d, dec:%d sum1:%d sum2:%d\\n", cnt, cnt_add, cnt_dec, sum1, sum2);
            sleep(1);
        

        return 0;

结果非常有意思：

• 如果不设置任何delta，无论什么分布，cnt均会增加到很大，看上去越来越大，然而却还是可以在某个时间突然变成0或者缓慢变成0，毫无征兆，不可预知，这就是随机游走的常返效应。
• 但凡加一点点delta(数值上大)，cnt就会维持在一个不大的值附近，归0的次数会大很多。
• 如果加很大的delta(数值上小)，cnt不会比delta小时小得多，偶尔也会很大。
• …

这对设计交换机等设备的队列buffer提供了一些思路，但更是回答了下面的疑问：

• 银行，医院，超市排队时，有好多服务窗口为什么只开不多的几个，为什么眼睁睁看着人们在排长队而无动于衷？

上述结论表明，把服务窗口全部打开对于整体效能是非常不经济的，但对于单独个人，却可以有效减少排队时间，这又是一个trade-off。

新开服务窗口的前提是，减少每个窗口队列的可容纳人数，这可让人们有更多机会选择窗口，平滑单个人服务时间过久引入的队头拥塞(因为人们发现队满了之后不得不选择别的窗口，或者退避，待会儿再来)。这么明显一个道理，在交换机设计者那里，却走向了相反方向。

交换机部署大的buffer是一个不正确的事情，分层网络协议栈引入了数据包出了网卡就是发送成功的假象，但也许只是进了交换机队列，真相是端到端延时增加了。这似乎非常容易理解，如果是人排队，人绝对不会将排队假装成被服务，相反，每个人都讨厌排队！同一个道理换个场景，却被忽略。

从本文的结论，我们可以回答为什么Pacing比Burstiness好。

由于主要讨论数据包转发，而数据包转发处理时延相对均匀，因此将服务台的处理波动消除，假设服务时间是均匀的，在双时间坐标和sequence/time坐标中，列举三种极端：

• Pacing：均匀到达。
• 真实情况：统计到达。
• Burstiness：突发到达。

我们殊途而同归，两个图一模一样：

这也正是M/M/1模型里的结论：

$T=\frac{1}{\mu -\lambda }$

如果做不到完全Pacing，泊松分布统计到达的情况也不错，$\lambda$大到一定程度，wait time也不会很大，这意味着队列不会太长，也就不需要安排太多的buffer，然而如果Burstiness，即便$\lambda$很小，时延也会很大，这意味着需要更多的buffer。突发导致了bufferbloat。

绳结不解，bufferbloat还是没法解决。

在写一个IDC拥塞控制算法时，无论如何也平滑不了长队列，即便是仿真了绕路算法，依然会快不过突发，Wi-Fi冲突本质上也是一种排队，坐地铁排队，结账排队，菜场一个口碑好的熟肉店买羊脸排队，…到处都在排队…我们的世界是一个分布式统计复用的世界，靠什么拥塞控制都没用，主要还是选路，但端到端原则又不允许选路，那就只有overlay了，这部分太复杂，就先聊聊排队吧，随便写写，就有了本文。

浙江温州皮鞋湿，下雨进水不会胖。