[BZOJ3895]取石子
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[BZOJ3895]取石子相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
取石子
题解
在笔者写这篇题解之前，你可以发现，网上大部分流行的解法都是
O
(
n
∑
a
)
O\\left(n\\sum a\\right)
O(n∑a)的，但我们可以发现在 LOJ 的较快代码都是清一色的线性时间复杂度。
这篇题解将主要对这种线性的做法进行讲解。
首先我们抬出我们的结论:
我们记
x
=
∑
[
a
i
=
1
]
x=\\sum [a_i=1]
x=∑[ai=1]即
1
1
1堆的个数，
y
=
∑
[
a
i
>
1
]
(
a
i
+
1
)
−
1
y=\\sum [a_i>1](a_i+1)-1
y=∑[ai>1](ai+1)−1，也就是非
1
1
1堆的和。
当
y
⩽
2
y\\leqslant 2
y⩽2时，如果
3
∣
x
3|x
3∣x，后手必胜，否则先手必胜。
当
y
>
2
y>2
y>2时，如果
2
∣
x
∧
2
∣
y
2|x\\wedge2|y
2∣x∧2∣y，后手必胜，否则先手必胜。
显然，不是
1
1
1的堆是不会对我们的答案产生影响的，它一定会做到最终被减到
0
0
0并且完全合（即自身合并的次数一定被用光）。
事实上，它不可能被任何一个人减到
0
0
0，如果有人妄图将它减到
0
0
0，浪费它的合并次数，那么当他将它从
2
2
2变到
1
1
1，是另一个人就会处于干扰对手的意愿，将其合并到它大于
1
1
1的朋友上，这也可以说明我们
y
y
y中最后要减去一个没处合并的
1
1
1。
显然，如果
y
⩽
2
y\\leqslant 2
y⩽2，那么我们的序列必然是数个连续的
1
1
1，最后可能跟一个
2
2
2。
如果我们的
3
∣
x
3|x
3∣x，也就是说我们的
1
1
1的个数是
3
3
3的倍数。
如果我们的先手将一个
1
1
1变为
0
0
0，在有
2
2
2的情况下，后手可以将
2
2
2变成
1
1
1，在没
2
2
2的情况下，后手可以将两个
1
1
1变成
2
2
2。
如果先手将一个
2
2
2变成
1
1
1，后手将这个
1
1
1变成
0
0
0即可。
如果先手合并了两个
1
1
1，得到一个
2
2
2，那么在没
2
2
2的情况下，我们可以将一个
1
1
1消去，保持在原状态。
在有
2
2
2的情况，我们考虑现在
x
x
x的奇偶性没变，
y
y
y的奇偶性变了，显然现在
2
∤
y
2\\not | y
2∣y，因为现在它们多了一个可合并项，在
y
>
2
y>2
y>2的情况看来，我们的后手现在是胜态。
于是，我们的目的有转到了证明
y
>
2
y>2
y>2部分的结论是否成立，不妨先假设
y
>
2
y>2
y>2部分的结论时对的，在下面会进行证明，先将
y
⩽
2
y\\leqslant 2
y⩽2的情况说明完。
如果我们的
3
∤
x
3\\not | x
3∣x，那么显然我们的先手可以将现在的情况变为
3
∣
x
3|x
3∣x，此时他是后手，可以胜利。
如果
x
%
3
=
1
x\\%3=1
x%3=1，直接将这个
1
1
1减掉即可。
如果
x
%
3
=
2
x\\%3=2
x%3=2，在有
2
2
2的情况下，可以将
2
2
2变成
1
1
1，没
2
2
2的情况下，将这两个
1
1
1合成
2
2
2。
于是我们便达到了
3
∣
x
3|x
3∣x的情况，原来的先手现在成了后手，必将胜利。
对于
y
>
2
y>2
y>2的情况，我们先说明
2
∣
x
∧
2
∣
y
2|x\\wedge 2|y
2∣x∧2∣y的情况后手是必胜的。
如果先手消一个
1
1
1，后手跟着消
1
1
1即可。
如果先手使
y
y
y减
1
1
1，如果现在
y
>
3
y>3
y>3，后手让
y
y
y减
1
1
1即可。否则，如果前面有
1
1
1的话，一定是偶数个，我们合并两个
1
1
1，可以使
y
y
y变成
6
6
6。不然的话，整个序列中就一个
3
3
3，此时将这个
3
3
3变成
2
2
2，一个
2
2
2明显是后手必胜。
如果先手将一个
1
1
1合并到
2
2
2上，后手跟着合并一个
1
1
1即可。
如果先手将两个
1
1
1合成
2
2
2，此时
y
y
y会增加
3
3
3，后手使
y
y
y减
1
1
1即可。
这样，无论如何，我们的后手都有能与先手匹敌的方案。
如果
2
∤
x
∨
2
∤
y
2\\not |x\\vee 2\\not |y
2∣x∨2∣y，先手是一定有一种方案使其变成
2
∣
x
∧
2
∣
y
2|x\\wedge 2|y
2∣x∧2∣y的，此时作为后手的原来的先手胜利。
如果
2
∤
x
∧
2
∣
y
2\\not | x\\wedge 2|y
2∣x∧2∣y，先手可以直接消去一个
1
1
1。
如果
2
∣
x
∧
2
∤
y
2| x\\wedge 2\\not |y
2∣x∧2∣y，当
y
>
3
y>3
y>3时，先手可以将
y
y
y减去一个
1
1
1，当
y
=
3
y=3
y=3时，先手如果前面有
1
1
1就合并连个
1
1
1，否则将
y
y
y减
1
1
1。
如果
2
∤
x
∧
2
∤
y
2\\not |x\\wedge 2\\not | y
2∣x∧2∣y，先手可以将一个
1
1
1合并到
2
2
2上面去。
于是，无论如何先手都能赢了。
这样，我们就证罢了
y
>
2
y>2
y>2的情况了，那么
y
⩽
2
y\\leqslant 2
y⩽2的情况也就证明完毕了。
于是，我们直接记录
1
1
1的个数与非
1
1
1的数的总和就可以线性求出答案了。
时间复杂度
O
(
n
)
O\\left(n\\right)
O(n)。
源码
这还要看吗。
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>以上是关于[BZOJ3895]取石子的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
BZOJ 1874: [BeiJing2009 WinterCamp]取石子游戏(SG函数)
BZOJ 1874: [BeiJing2009 WinterCamp]取石子游戏 [Nim游戏 SG函数]