蓝桥集训之数论基础

Posted 2022-01-27 MangataTS

文章目录

• 一、同余
• • 1.1 结论
• 二、GCD&LCM
• • 2.1 GCD
  • • 2.1.1 更相减损法
    • 2.1.2代码：
    • 2.1.3 辗转相除法
    • 2.1.4 代码
  • 2.2 LCM
  • 2.3 拓展欧几里得
  • • 2.3.1 前置知识
    • 2.3.2 问题引出
    • 2.3.3 思路
    • 2.3.4 拓展欧几里得算法代码
    • 2.3.5 原理证明
• 三、唯一分解定理
• • 3.1 理论
  • 3.2习题
• 四、素数三大筛
• • 4.1 朴素素数筛
  • • 4.1.1 原理
    • 4.1.2 代码
  • 4.2 埃式筛
  • • 4.2.1 原理
    • 4.2.2 代码
  • 4.3 欧拉筛
  • • 4.3.1 原理
    • 4.3.2 代码
  • 4.4 拓展：米勒罗宾
• 五、矩阵运算
• • 5.1 矩阵加减法
  • 5.2 矩阵乘法
  • 5.3 代码
• 六、快速幂&龟速乘
• • 6.1快速幂
  • • 6.1.1 问题引出
    • 6.1.2 原理
    • 6.1.3 代码
  • 6.2广义幂
  • • 6.2.1问题引出
    • 6.2.2原理
  • 6.3 龟速乘法
  • • 6.3.1问题引出
    • 6.3.2原理
    • 6.3.3 代码
• 七、矩阵快速幂
• • 7.1问题引出
  • 7.2原理
  • 7.3 代码
  • 7.5矩阵快速幂求解斐波那契问题
  • • 7.5.1 问题引出
    • 7.5.2 思路
    • 7.5.3 斐波那契数列性质
• 八、费马小定理求逆元
• • 8.1 费马小定理
  • 8.2 逆元
  • • 8.2.1 简介
    • 8.2.2 如何求
• 九、训练题单

一、同余

1.1 结论

• $(a+b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=((a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)+(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$
• $(a-b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=((a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)-(b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$
• $(a\times b)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=((a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)\times (b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n))\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$

二、GCD&LCM

2.1 GCD

GCD即最大公约数，小学的时候我们就学习了求两数的最大公约数的方法。但是要注意如果有一个数为0的话那么最小公约数就是另一个不为0的数,我们在这里只需要知道GCD是什么东西就行了

2.1.1 更相减损法

两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数。

2.1.2代码：

int gcd_3(int a,int b) //更相减损法 递归写法 
    if(a == 0)
        return b;
    if(b == 0)
        return a; 
    if(a == b)
        return a;
    if(a > b)
        return gcd_3(a-b,b);
    if(a < b)
        return gcd_3(b-a,a);


int gcd_4(int a,int b) //更相减损法 循环写法 
    if(a == 0)
    　　return b;
    if(b == 0)
    　　return a;
    while(a != b) 
        if(a > b)
            a -= b;
        else
        
            int t = a;
            a = b - a;
            b = t;
        
    
    return a;

2.1.3 辗转相除法

两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数。

其实就是把更相减损变得更高级一点（加减运算变乘除运算，提升了一个级别）

但是大整数取模会让一些题极为头疼，所以我们还是要慎重考虑什么时候用更相减损什么时候用辗转相除。

2.1.4 代码

int gcd_1(int a,int b)//辗转相除法 循环写法 
    while(b > 0) 
        int t = a%b;
        a = b;
        b = t;
    
    return a;

int gcd_2(int a,int b) //辗转相除法 递归写法 
    return b?gcd_2(b,a%b) : a;

2.2 LCM

LCM即最小公倍数，小学的时候也学过，当我们求出GCD的时候，LCM也就出来了，
$$LCM=\frac{a\times b}{GCD(a,b)}$$

2.3 拓展欧几里得

2.3.1 前置知识

辗转相除法、贝祖定理

• 辗转相除法就是不断的让较大的数模上较小的数，最后使得其中一个数位0，最后得到答案
• 贝祖定理：$ax+by=c,x∈Z*,y∈Z* \\ $成立的充要条件是$gcd(a,b)|c$

贝祖定理证明：

设$s=gcd(a,b)$，显然$s|a$，并且$s|b$

又因为$x，y\in Z$

所以$s|ax$,$s|by$

显然要使得之前的式子成立，则必须满足$c$是$a$和$b$的公约数的倍数

又因为$x$和$y$是正整数

所以$c$必然是$a,b$最大公约数的倍数。

因此，证得该定理成立

当然我这里写的可能只有两元，但是这个定理可以拓展到n元，请大家思考拓展到n元的情况

2.3.2 问题引出

求得任意一组解：$ax+by=1$

2.3.3 思路

很显然，我们能知道如果$gcd(a,b)!=1$的话是无解的，所以我们只看$gcd(a,b)=1$的情况，通过拓展欧几里得的算法我们可以解决这一类问题

2.3.4 拓展欧几里得算法代码

int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)//返回的值还是GCD(a,b)

    if(b==0)//等于0的情况直接返回了
    
        x=1;
        y=0;
        return a;
    
    int ans=ex_gcd(b,a%b,x,y);//获得x',y';
    int temp=x;//存储x'
    x=y;//x=y'
    y=temp-(a/b)*x;//y=x'-(a/b)*y'
    return ans;

2.3.5 原理证明

若$ax+by=c$有解，且设$t=gcd(a,b)$，则$c\%t=0$

①设$ax+by=t$

当b等于0时，$t=a$，因为$gcd(a,0)=a$，则会有$a\times x=a$，即$x=1$

② 当b不等于0时

设$ax+by=gcd(a,b)$ —Ⅰ

我们可以推出下一层的状态：$b{x}^{\prime }+(a\%b)y^{\prime }=gcd(b,a\%b)$ — Ⅱ

又因为$gcd(b,a\%b)=gcd(a,b)$ — Ⅲ

所以由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可得：$ax+by=b{x}^{\prime }+(a\%b)y^{\prime }$ —Ⅴ

又因为$a\%b=a-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times$

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