模拟赛 提米树 题解 （DP+思维）

Posted 2021-05-07 lnzwz

题意：
有一棵棵提米树，满足这样的性质:
每个点上长了一定数量的Temmie 薄片，薄片数量记为这个点的权值，这些点被标记为 1 到 n 的整数，其
中 1 号点是树的根，没有孩子的点是树上的叶子。
定义((a,b))是一对相邻的叶子，当且仅当没有其它的叶子节点在 DFS 序上在a,b 之间。
每对相邻的叶子都会产生一个代价，代价为 a 到 b 路径上(不包含 a,b)的点中，最大点权值。
提米树可以提供决心，一棵提米树能提供的决心的数量是树上所有叶子上长的 Temmie 薄片数量和，减去所有相邻叶子的代价。
Temmie 们决定对这棵树进行若干次剪枝(可以不剪枝)，使得这棵树能提供的决心最多。
一次剪枝定义为:如果一个点的孩子都是叶子,就可以把它所有的孩子剪掉。

要求(O(n))做法。

首先，考虑(O(n^2))的60分暴力：
我们可以反过来：由根开始，每个节点考虑是否扩展出所有叶子。
若不扩展，则它的子树都是空的，它成为叶子。
我们可以在dfs序上DP：设(dp(i,j))表示考虑到i，上一个叶子点为j的最大决心。
有两种转移：
1、若i不是叶子，可以扩展，转移到(dp(i+1,j))。
2、可以不扩展，转移到(dp(i+si_i,i)+w_i-max(i,j))。
代码如下：

for(int i=tm-1;i>=0;i--)
{
    for(int j=0;j<=n;j++)
    {
        int u=xl[i];
        dp[i][j]=dp[i+si[u]][u]+sz[u]-zd[j][u];
        if(si[u]>1&&dp[i+1][j]>dp[i][j])
            dp[i][j]=dp[i+1][j];
    }
}
printf("%d",dp[0][0]);

考虑优化：首先，要把维度降下来。
设(dp(i))表示i成为叶子后的最大决心。
枚举下一个使用2转移的位置，代码如下：

for(int i=tm;i>=0;i--)
{
    int u=xl[i];
    dp[i]=-999999999;
    for(int j=i+si[u];j<=tm+1;j++)
    {
        int t=dp[j]-zd[u][xl[j]];
        if(t>=dp[i])
            dp[i]=t;
        if(si[xl[j]]==1)//注意此处，非常关键。
            break;
    }
    dp[i]+=sz[u];
}
printf("%d",dp[0]);

继续优化：
我们发现，对于(i)，(i+si_i)就是i的祖先节点中第一个有更右子节点的点。
而由于注释处的break，使得转移就是在(i+si[u])处，一直向左走形成的链。
那么：

绿点对橙点有贡献。
那么，我们枚举红点lca，再枚举相邻的两个儿子，计算贡献。
先算出链上每个节点到lca的最大值。设为(h)，那么，就是(dp(u)=max(dp(v)-max(h(u),h(v)))+w(u))。
由于h具有单调性，因此分(h(u)>h(v))和(h(u)<=h(v))进行讨论，提前算出链上(dp)，以及(dp-h)的最大值。
这两种情况符合的v一定是前缀/后缀，双指针扫一下即可定位。

代码细节非常多。

#include <stdio.h>
#include <vector>
#define inf 999999999
using namespace std;
vector<int> ve[100010];
int sz[100010],cl[100010],cr[100010],dp[100010],zd[100010],fa[100010],ma[100010],md[100010];
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
void dfs0(int u,int f)
{
    fa[u]=f;
    for(int i=0;i<ve[u].size();i++)
        dfs0(ve[u][i],u);
}
void dfs1(int u)
{
    for(int i=ve[u].size()-2;i>=0;i--)
    {
        dfs1(ve[u][i+1]);
        int t=ve[u][i],la=0;zd[u]=sz[u];
        while(t!=0)
        {
            zd[t]=max(sz[t],zd[fa[t]]);
            t=cr[t];
        }
        t=ve[u][i+1];
        while(t!=0)
        {
            zd[t]=max(sz[t],zd[fa[t]]);
            la=t;t=cl[t];
        }
        t=la;while(t!=u)
        {
            ma[t]=dp[t]-zd[fa[t]];
            if(cl[t])ma[t]=max(ma[t],ma[cl[t]]);
            t=fa[t];
        }
        t=ve[u][i+1];
        while(t!=0)
        {
            md[t]=dp[t];
            if(fa[t]!=u)md[t]=max(md[t],md[fa[t]]);
            t=cl[t];
        }
        ma[u]=md[u]=-inf;
        int x=ve[u][i],y=ve[u][i+1];
        while(x!=0)
        {
            while(y!=0&&zd[fa[y]]<zd[fa[x]])
                y=cl[y];
            if(y)
            {
                t=ma[y]+sz[x];
                if(t>dp[x])dp[x]=t;
            }
            t=md[(y==0?la:fa[y])]-zd[fa[x]]+sz[x];
            if(t>dp[x])dp[x]=t;x=cr[x];
        }
    }
    if(ve[u].size())dfs1(cl[u]);
}
int main()
{
    freopen("temmie.in","r",stdin);
    freopen("temmie.out","w",stdout);
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int s,a;
        scanf("%d%d",&sz[i],&s);
        for(int j=0;j<s;j++)
        {
            scanf("%d",&a);
            ve[i].push_back(a);
        }
        if(s>0)
        {
            cl[i]=ve[i][0];
            cr[i]=ve[i][s-1];
        }
        dp[i]=-inf;
    }
    int u=1;
    while(u!=0)
    {
        dp[u]=sz[u];
        u=cr[u];
    }
    dfs0(1,0);dfs1(1);
    int ma=-inf;u=1;
    while(u!=0)
    {
        if(dp[u]>ma)
            ma=dp[u];
        u=cl[u];
    }
    printf("%d",ma);
    return 0;
}