题解 CF1097F Alex and a TV Show

Posted 2021-05-07 bcoier

妙妙题……

这道题这要求%2的个数，肯定有什么性质

于是我们想到了用(bitset)来处理

由于三操作有(gcd)，于是我们又想到用反演来解决

我们回忆一下反演的柿子

设(f(x))为x出现了多少次，(F(x))为x的倍数出现了多少次

[F(d) = sum_{d|x}f(x)]

跟据反演，我们有：

[f(x) = sum_{x |d}F(d) * mu(frac{d}{x})]

我们要求的数即为(f(v))

由于(mu)的取值只有(-1, 0, 1)，在膜二意义下只有(0, 1)

我们用(a[x][y])表示(x)集合内的y即y的倍数出现了多少次（(F(y))），再用(u[x][y])表示(mu(frac{y}{x}))，我们要求的(f(v) = a[x]&u[v])

再来重新考虑所有操作：

对于1操作，预处理出每一个v的所有约数的(bitset)，赋值即可

对于2操作，直接用(a[x]=a[y]^a[z])即可

对于3操作，(a[x] = a[y]&a[z])

对于4操作，用上述方法求出(bitset)后的(1)的数量

(Code:)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
il int read() {
    re int x = 0, f = 1; re char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
    return x * f;
}
#define rep(i, s, t) for(re int i = s; i <= t; ++ i)
#define maxn 7001
#define maxm 100005
int n, m, prim[maxn], vis[maxn], mu[maxn], cnt;
bitset<maxn>G[maxn], a[maxm], u[maxn];
int main() {
    n = read(), m = read(), mu[1] = 1;
    rep(i, 2, 7000) {
        if(!vis[i]) prim[++ cnt] = i, mu[i] = -1;
        for(re int j = 1; j <= cnt && prim[j] * i <= 7000; ++ j) {
            vis[i * prim[j]] = 1;
            if(i % prim[j] == 0) break;
            mu[i * prim[j]] = -mu[i];
        }
    }
    rep(i, 1, 7000) {
        for(re int j = i; j <= 7000; j += i) G[j][i] = 1, u[i][j] = mu[j / i] != 0;
    }
    while(m --) {
        int opt = read(), x = read();
        if(opt == 1) a[x] = G[read()];
        if(opt == 2) a[x] = a[read()] ^ a[read()];
        if(opt == 3) a[x] = a[read()] & a[read()];
        if(opt == 4) printf("%d", (u[read()] & a[x]).count() & 1);
    }
    return 0;
}