小知识证明 $1$ 到 $n$ 的立方和公式
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了小知识证明 $1$ 到 $n$ 的立方和公式相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
- scb 发明了小学奥数（确信）
Formula
(sumlimits_{i=1}^n i^3 = (sumlimits_{i=1}^n i)^2)
Provement
构造一个矩阵 (a) [1space 2space 3space 4space 5 \ 2space 4space 6space 8space 10 \ 3space 6space 9space 12space 15 \ 4space 8space 12space 16space 20 \ 5space 10space 15space 20space 25]
（这个矩阵还可以往右下无限延伸，这里限于篇幅就写这么多）
对于左上角 (n imes n) 个数的和，有两种不同的求法。两种求法对应了标题中的等号两侧。
首先有反 L 字形求和公式：[egin{align} &sumlimits_{i=1}^x a_{x,i} + sumlimits_{i=1}^{x-1} a_{i,x}
onumber \ = &x imes [1+2+3+cdots +x+(x-1)+(x-2)+cdots +1]
onumber \ = &x imes x^2
onumber \ = &x^3 end{align}]
故左上角 (n imes n) 个数的和就是 (sumlimits_{x=1}^n x^3)
然后有一行求和公式，即第 (i) 行的和为 (i imes (1+2+cdots +n))
故左上角 (n imes n) 个数的和也是 ((1+2+cdots +n) imes (1+2+cdots +n) = (sumlimits_{i=1}^n i)^2)
Q.E.D
以上是关于小知识证明 $1$ 到 $n$ 的立方和公式的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章