树的点分治讲解

Posted 2020-11-18 khada-jhin

　　在说点分治之前先说一下序列分治，序列分治大家都知道吧，就是把序列从某个位置(一般是中间点)分成两部分，统计跨越两部分的答案再递归处理两部分。树的点分治的道理和序列分治很像，但树没有中点，该怎么分治呢？再对比序列分治，序列相当于一条链，而序列的中点就是这条链的重心，那么树的分治点就可以是这棵树的重心。回顾一下重心的性质：以树的重心为根，这棵树最大子树大小不大于整棵树大小的一半。这样就可以保证时间复杂度是O(nlogn)（因为最多logn层啊qwq）。

　　当以一个点为当前重心时，处理的答案是跨区域的(也就是统计任意两个子树之间经过重心产生的答案)。在这里介绍两种常用的统计方法：

1、统计所有子树中任意两点满足的方案数(不管两个点是否在同一棵子树里)，再用单步容斥减掉在同一棵子树中的答案数。但这种方法的前提条件是统计答案满足逆运算(即总答案-不符合答案=符合答案)。

2、将当前子树里的点和之前遍历的子树中的所有点统计答案，这样避免了不符合的答案，也不需要满足逆运算，有的题只能用这种方法来统计。

最后说一下点分治题求解的主要过程：

1、找重心并以重心为根对子树dfs答案信息(例如路径长或者满足条件节点数)。

2、统计答案。

3、递归分治处理每棵子树。

代码时间

找重心

void getroot(int x,int fa)
{
    size[x]=1;
    mx[x]=0;
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        if(to[i]!=fa&&!vis[to[i]])
        {
            getroot(to[i],x);
            size[x]+=size[to[i]];
            mx[x]=max(mx[x],size[to[i]]);
        }
    }
    mx[x]=max(mx[x],num-size[x]);
    if(!root||mx[x]<mx[root])
    {
        root=x;
    }
}

分治过程

void partition(int x)
{
    vis[x]=1;
    ans+=calc(x,0);
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        if(!vis[to[i]])
        {
            ans-=calc(to[i],val[i]);
            num=size[to[i]];
            root=0;
            getroot(to[i],0);
            partition(root);
        }
    }
}

变量名解释：

size[i]，i的子树大小；mx[i]，以i为重心最大子树大小；num，当前子树总大小；mx[0]初始成INF。

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