逆向拓扑排序

Posted 2020-11-17 roni-i

思路来自：与PKU3687一样

在基本的拓扑排序的基础上又增加了一个要求：编号最小的节点要尽量排在前面；在满足上一个条件的基础上，编号第二小的节点要尽量排在前面；在满足前两个条件的基础上，编号第三小的节点要尽量排在前面……依此类推。（注意，这和字典序是两回事，不可以混淆。）

如图 1 所示，满足要求的拓扑序应该是：6 4 1 3 9 2 5 7 8 0。

图 1 一个拓扑排序的例子

一般来说，在一个有向无环图中，用 BFS 进行拓扑排序是比较常见的做法，如算法 1 所示。但是它不一定能得到本题要求的拓扑序。

1. 把所有入度为 0 的节点放进队列 Q

2. WHILE： Q 不是空队列

3. 从 Q 中取出队列首元素 a，把 a 添加到答案的尾部。

4. FOR：所有从 a 出发的边 a → b

5. 把 b 的入度减 1。如果 b 的入度变为 0，则把 b 放进队列 Q。

算法 1

用 BFS 进行拓扑排序

为了解决本问题，下面让我来探究一下拓扑序的一些性质。以图 1 为例，节点 0 毫无疑问排在最后。除了节点 0 以外，有三条互相平行的路径：6 → 4 → 1、 3 → 9 → 2 和 5 → 7 → 8。一条路径上的各个节点的先后关系都是不能改变的，比如路径 6 → 4 → 1 上的三个节点在拓扑序中，一定是 6 在最前，1 在最后。但是，互相平行的各条路径，在总的拓扑序中任意交错都是合法的。比如，以下都是图 1 的合法拓扑序：

6 4 1 3 9 2 5 7 8 0、 3 6 9 4 5 1 7 8 2 0、 5 6 4 7 3 8 1 9 2 0、 3 5 6 4 1 7 9 2 8 0、 6 5 7 8 4 3 9 2 1 0。

怎么才能找出题目要求的拓扑序呢？在这里，我想用字典序最先的拓扑序来引出这个算法。算法 2 可以求出字典序最先的拓扑序。

1. 把所有入度为 0 的节点放进优先队列 PQ

2. WHILE： PQ 不是空队列

3. 从 PQ 中取出编号最小的元素 a，把 a 添加到答案的尾部。

4. FOR：所有从 a 出发的边 a → b

5. 把 b 的入度减 1。如果 b 的入度变为 0，则把 b 放进优先队列PQ。

算法 2 求出字典序最先的拓扑序

可见，算法 2 和算法 1 基本一样，只是把队列改成了优先队列。用它求出的图 1 的字典序最先的拓扑序为：3 5 6 4 1 7 8 9 2 0。但是这显然不是本题要求的答案，因为节点 1 的位置还不够靠前。

算法 2 可以算是一个贪心算法，每一步都找编号最小的节点。但是对于图 1 中的三条路径，头的编号比较小的，不一定要先出队列。正确的步骤应该如下：

节点 0 的位置是铁定在最后的，不用考虑。只考虑剩下的三条路径。
先找编号最小的，节点 1。把它和它所在的路径中位于它前面的节点全部拿出来。目前的答案是 6 4 1，这样， 节点 1 就尽量靠前了。
再找剩下的节点中编号最小的，节点 2。把它和它所在的路径中位于它前面的节点全部拿出来。目前的答案是 6 4 1 3 9 2 ，这样，节点 2 就尽量靠前了。
只剩下一条路径了，只能依次把其中的节点拿出来。最后答案就是 6 4 1 3 9 2 5 7 8 0。
显然，算法 2 的贪心策略对于这个问题是不可行的。不能着眼于每条路径的头，而是要找编号最小的节点在哪条路径上，优先把这条路径拿出来。但问题在于，在 BFS 的过程中，我们只能看到每条路径的头，看不到后面的节点，这该怎么办呢？

让我们换个角度想一想，节点 3 和 6，应该是 6 先出队列，因为节点 1 在 6 的后面。这和节点 3 和 6 的编号大小没有任何关系。但是，再看另外两条路径的尾部，节点 2 和 8，可以肯定地说，2 一定先出队列，因为它们后面都没有别的节点了，这个时候完全以这两个节点本身的编号大小决定顺序。归纳起来就是说，对于若干条平行的路径，小的头部不一定排在前面，但是大的尾部一定排在后面。于是，就有了算法 3。

算法3

1. 把所有出度为 0 的节点放进优先队列 PQ
2. WHILE： PQ 不是空队列
3. 从 PQ 中取出编号最大的元素 a，把 a 添加到答案的头部。
4. FOR：所有指向 a 的边 b → a
5. 把 b 的出度减 1。如果 b 的出度变为 0，则把 b 放进优先队列PQ。

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1. 什么类型的题目需要反向建图 ？
   通过做题发现，对于要求编号小的靠前输出这类题需要反向建图（菜鸡做题少...未完待续

2.为什么要反向建图 ?
上面已经说过什么类型的题目需要反向建图。

比如说：有1 ， 2 ， 3 共 3 个数，要求 3 在 1 前面输出（对 2 没有要求

如果没有反向建图的话，会造成输出 2 3 1这样的错解（ 实际上应该输出 3 1 2 ...

3.详细步骤
对于给定顺序：

6 -> 4 -> 7     （ 对于这一行，要求先输出6，在输出4，最后输出 7

3 -> 9  ->2      （ 同上。。。

5  ->1  ->8        （同上。。。

这样我们反向建图，每次都处理（比较）入度为 0 的点

6 <- 4 <- 7

3 <- 9 <- 2

5 <- 1 <- 8

这样我们先比较 7 2 8 这一列（ 入度为 0 嘛），大的肯定是最后输出（ 要求小的先输出

因此 ans[1] = 8 ,把 8 剔除出去，与 8 相连的点的入度 -1

6 <- 4 <- 7

3 <- 9 <- 2

5 <- 1

此时入度为 0 的点有 7 2 1 ，然后再把 最大的剔除出去

因此 ans[2] = 7，与 7 相连的点的入度 -1

6 <- 4 

3 <- 9 <- 2

5 <- 1

此时入度为 0 的点有 4 2 1 ，然后再把 最大的剔除出去

因此 ans[3] = 4 与 4 相连的点的入度 -1

。

。

。

反复执行上述步骤，直至处理完全部入度为 0 的点（ 可能有环。。。）

最后得到 ans[1] = 8 ; ans[2] = 7 ;ans[3] = 4 ; ans[4] = 6 ;ans[5] = 2 ; ans[6] = 9 ;ans[7] = 3 ;ans[8] = 1 ; ans[9] = 5

此时，我们再反向输出，即可以得到答案

5 1 3 9 2 6 4 7 8

4.题目链接
Reward

逃生

5.结束

再补充一点：关于字典序最小 和 编号最小 优先输出的区别！

对比 HDU 1285 和 HDU 4875

我们发现前一道是要求 字典序最小优先输出 即可 后面一道却是要求 编号最小优先输出！！

那么，有什么区别吗？

对于这张图，字典序最小优先输出是 1 3 4 2

BUT 编号最小优先输出是 1 4 2 3