证明存在10个交换的O（n）算法

Posted 2021-05-03

一个著名的问题是找到用于对数组进行排序的最小交换量。我的问题是，我们有大小为n的数组，我们知道可以用10个交换对它进行排序（我们不知道移动数，仅知道移动数）。我想证明存在一个O（n）算法（用于时间）对该数组进行排序。

首先，为了证明这一说法，我应该提供一些代码？我不知道怎么证明其次，这是否与对数组进行排序的最小交换量有关？

感谢您的帮助

答案

如果知道10个交换就足以对一个数组进行排序，则该数组几乎被排序，最多10 * 2 = 20个元素乱序。因此，如果我们找到在几乎排序的数组上具有O（n）的排序算法，则足以证明您的陈述。

例如，我们可以使用两步解决方案：

1. 找到数组中所有乱序的元素，删除并保存它们

2. 将保存的元素插入结果数组中的正确位置

使用这种“幼稚”算法，在最坏的情况下，第一步将花费一遍，而第二步则需要花费20次或更少的次数（20个无序元素）。因此，如果n >> 10比您得到O（n）的话。如果不依赖于n

，此证明对于任何恒定数量的掉期都是正确的

另一答案

您的解决方案在Adaptive sorts algorithms中。

自适应排序算法的经典示例是直插入排序。在这种排序算法中，我们从左到右扫描输入，重复查找当前项目的位置，并将其插入到先前已排序项目的数组中。

我们知道：

此算法的性能可以用输入中的反转次数来描述，然后T(n)大约等于I(A)+(n-1)，其中I(A)是反转次数。

因此，根据您的情况，反转次数是恒定的，此算法的复杂度将为Theta(n)。