FLEXPART拉格朗日粒子扩散模式

Posted 2023-04-06 weixin_贾楠

拉格朗日粒子扩散模式FLEXPART通过计算点、线、面或体积源释放的大量粒子的轨迹，来描述示踪物在大气中长距离、中尺度的传输、扩散、干湿沉降和辐射衰减等过程。该模式既可以通过时间的前向运算来模拟示踪物由源区向周围的扩散，也可以通过后向运算来确定对于固定站点有影响的潜在源区分布。

本次内容采用“理论讲解+案例实战+动手实操+讨论互动”相结合的方式，抽丝剥茧、深入浅出地讲解FLEXPART扩散模式在研究大气污染物源-汇关系中需要掌握的经验和技巧。

【原文链接】：拉格朗日粒子扩散模式FLEXPART实践技术应用https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzU5NTkyMzcxNw==&mid=2247536342&idx=2&sn=1b3e635842eb3a33c1141e5de4efd280&chksm=fe6888bcc91f01aa97783e5f1245d4de4f55953ece324fb46d53f2302b4c032e353c43a90dc2&token=2021071977&lang=zh_CN#rd

【方式】： 全套视频+永久回放+长期答疑群辅助+课件资料

【证书及学时】：

学习本次内容可以获得《FLEXPART模式技术应用》专业技能培训证书及学时证明，网上可查。此证书可作为个人学习和知识更新、单位在职人员专业技能素质培养及单位人才聘用重要参考依据。

【内容介绍】：

专题一、《FLEXPART模式简介及Linux系统安装 》：

拉格朗日粒子扩散模式简介

FLEXPART模式简介及下载安装

Linux系统安装

FLEXPART 模式运行需要的其他工具

专题二、《FLEXPART模式数据输入、模式运行及结果输出 》：

气象场数据的获取

模式参数的设定

Pathnames内容设置

Command 参数设置

Release 参数设置

Outgrid 参数设置

FLEXPART模式运行

FLEXPART模式运行结果分析
案例：对FLEXPART模式运行结果进行分析

专题三、《FLEXPART模式大气污染研究中的应用 》：

区域对受体点的源贡献
案例：不同区域对某一站点的贡献

其他应用

拉格朗日乘子法及其对偶问题和KKT条件

参考技术A

如何理解拉格朗日乘子法？

https://blog.csdn.net/lijil168/article/details/69395023
http://www.math.ubc.ca/~israel/m340/kkt2.pdf
http://www2.imm.dtu.dk/courses/02711/lecture3.pdf
http://www.onmyphd.com/?p=kkt.karush.kuhn.tucker

在求解最优化问题中，拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier）和KKT（Karush Kuhn Tucker）条件是两种最常用的方法。 在有等式约束时使用拉格朗日乘子法，在有不等约束时使用KKT条件。
一般情况下，最优化问题会碰到一下三种情况：
（1）无约束条件
这是最简单的情况，解决方法通常是函数对变量求导，令求导函数等于0的点可能是极值点。将结果带回原函数进行验证即可。
（2）等式约束条件
使用拉格朗日乘子法。
当 个等式约束， 时，求 的最优解。——这就是原问题
等价表达式为：


——这就是原问题
其中， 表示最优化，可能是最小化min，或最大化max； 表示subject to ，“受限于”的意思； 为目标函数（不是原问题，不是原函数）； 是约束项。写成约束的形式更专业，但是还是题目描述的好理解。

拉格朗日乘子法定义：对于目标函数 以及 个约束条件 ，拉格朗日乘子法为每个约束条件添加一个“乘子” ：
（1）如果对目标函数求最小化即


那么得到拉格朗日函数：

其中

（2）如果对目标函数求最大化即


那么得到拉格朗日函数：

其中

上面两种情况是可以通过对 和 取负互相转换。下面只就第（1）种情况进行讨论。

上面两种情况用拉格朗日乘子法对偶问题来解释。
对于第一种情况，如果对目标函数求最小化即 是凹函数，那么对 求最小值等同于 ，而 可分为两部分，第一部分即目标函数 ，第二部分为带有“乘子” 的约束部分；容易看出第一部分不包含 ，所以 也可以分成两部分优化:

基于公式(1)，可以用 来表示 ，那么拉格朗日函数 就变成了一个关于 的函数，记为： ——该函数就是拉格朗日函数的对偶函数。所谓对偶函数就是求拉格朗日函数的最优解 等价于求对偶函数的最优解 ，求得 之后基于公式(1)，就可以求得 。

对对偶函数求最优解，也是对 求偏导，并令其为0：


...

最终我们可以得到对偶函数的 个最优解 ，进而得到拉格朗日函数的最优解 ，再将 带入目标函数 即可得到 的最优解。

由求带约束的目标函数的最优解 求拉格朗日函数的最优解 求拉格朗日函数的对偶函数的最优解，再将最优解回溯回去。

练一练：已知 ，求 的最大值？
上面的问题，可以写成

思路：基本不等式、三角换元都太麻烦。用拉格朗日乘子法（也叫拉格朗日乘数法）来解决。
将等式约束下的目标函数转化成拉格朗日函数：

这里只有一个约束项。
要求解 的最优解，即对 求偏导，并使结果为0：



可以求得
也就是说当 时，目标函数 取得最大值，即
利用GeoGebra 软件进行验证，如图所示：

（3）不等式约束条件
当 个不等式约束， 时，求 的最小值。
等价表达式为：


采用拉格朗日乘子法会为每一个不等式约束分配一个“乘子” ，于是有拉格朗日函数：

其中不等式约束的“乘子”” 。

KKT条件是说， 的最优解 一定同时满足如下条件：

要同时满足第6、7个条件，那么就是要么 ，要么 ，或 和 都为0——这就是KKT所带来的重要结论。

练一练：



1、将上面的约束项变形如下：


2、拉格朗日函数为：

最优化拉格朗日函数
对 求偏导：

那么
对 求偏导：

那么
将 带入到 中得到的是之关于 的函数 ，该函数是 的对偶函数。

（4）既有等式约束条件又有不等式约束条件
使用拉格朗日乘子法结合KKT条件。
当 个等式约束， ； 个不等式约束， 时，求 的最小值。
等价表达式为：



采用拉格朗日乘子法会为每一个等式约束分配一个“乘子” ，也为每一个不等式约束分配一个“乘子” ，于是有拉格朗日函数：

其中等式约束的“乘子”” ;不等式约束的“乘子” 。

KKT条件是说， 的最优解 一定满足如下条件：