算法题个人思路总结

Posted 2020-11-17 dalt

1.设A与C是互质的两个数，求B，使得A*B=1(mod C)。

解：由于gcd(A,C)=1，因此利用扩展欧几里德函数可以找到a*A+c*C=1，即a*A=1(mod C)。我们取B=a即可。

 

2.求$sum_{i=1}^n{frac{1}{i}}$的上下界。

解：$ln left( n+1 ight) le int_1^{n+1}{frac{1}{x}dx}le sum_{i=1}^n{frac{1}{i}}le 1+int_1^n{frac{1}{x}dx}=1+ln left( n ight) $。

 

3.求形如$sum_{i=1}^n{i^{alpha}}$的上下界，其中α>=0。

解：$1+frac{1}{alpha +1}left( n^{alpha +1}-1 ight) =1+int_1^n{x^{alpha}dx}le sum_{i=1}^n{i^{alpha}}le int_1^{n+1}{x^{alpha}dx}=frac{1}{alpha +1}left( left( n+1 ight) ^{alpha +1}-1 ight) $。

 

4.要求大批量查询区间最大值最小值，区间不会被修改。

解：使用ST算法在长度为n的区间上以时空复杂度O(nlog2n)做预处理，并以O(1)时间复杂度做查询。

 

5.在一株树上统计路径信息。

解：使用LCT，所有操作时间复杂度均为O(log2n)。

 

6.数据范围较大，但实际数据较少。

解：离散处理。

 

7.要求多次处理树上差分，每个结点对应一组值。

解：树上每个结点对应一个持久化线段树，并且子结点的持久化线段树在父结点的持久化线段树上创建。

 

8.给定n大小不变区间，区间值最大值为k，m次查询区间第k小。

解：将区间视为一株树，下标i对应i+1的父结点，问题相当于在树上做差分。查询区间[l,r]上第k小，等价于查询持久化线段树r与持久化线段树l-1的差分对应的线段树上第k小元素。时间复杂度为O((n+m)log2(k))。

 

9.给定一株含n个结点的树，m次查询lca。

解：1.先利用dfs将树压成区间，之后利用st处理区间最小值和最大值。时间复杂度为O(2nlog2(n)+m)。

　　2.如果允许离线处理，则利用tarjan算法可以在O(n+m)时间复杂度内求出。

 

10.给定长度为n的字符串，m次判断两个子串是否相同。

解：在字符串上进行hash处理，之后以O(1)实际复杂度取子串哈希值并进行比较。实际复杂度为O(n+m)。注意要小心生日悖论，如果哈希范围为k，则只需要sqrt(k)个不同子串就有1/2以上的概率使得存在两个子串拥有相同哈希值，这时候可以多次进行哈希，从而提高k的范围。

 

11.平面上n个矩形，求被这些矩形覆盖的面积。

解：先对矩形按照矩形底部y坐标进行从小到大排序。之后用扫描线算法从左到右扫描矩形左右边界。总的时间复杂度为O(n^2)。