交换（缺）

Posted 2020-11-17 mark2017

交换

【题目描述】

给定一个{0, 1, 2, 3, … , n - 1}的排列 p。一个{0, 1, 2 , … , n - 2}的排列q被认为是优美的排列，当且仅当q满足下列条件：

对排列s = {0, 1, 2, 3, ..., n - 1}进行n – 1次交换。

1. 交换s[q0],s[q0 + 1]
2. 交换s[q1],s[q1 + 1]

…

最后能使得排列s = p.

问有多少个优美的排列，答案对10^9+7取模。

 

【输入格式】

第一行一个正整数n.

第二行n个整数代表排列p.

 

【输出格式】

仅一行表示答案。

 

【样例输入】

3

1 2 0

 

【样例输出】

1

 

【样例解释】

q = {0,1} {0,1,2} ->{1,0,2} -> {1, 2, 0}

q = {1,0} {0,1,2} ->{0,2,1} -> {2, 0, 1}

【数据范围】

30%:  n <= 10

100%:  n <= 50

 

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分析：

 

30%：

 

枚举所有排列，判定即可。

 

100%：

 

考虑倒着处理，比如交换 (i, i + 1)，那么前面的所有数不管怎么交换都无法到后面去(下标恒小于等于i)，后面的数也是一样到不了前面。说明这最后一次交换前，就要求对于所有的 x <= i, y > i，px<py。所以交换前左边的数是连续的，右边也是连续的。由于交换前，前面和后面的数是互相不干涉的，所以就归结成了两个子问题。于是我们可以用记忆化搜索来解决这个问题。

 

设dp[n][low] 代表长度为n，H是{low, low + 1,…,low + n - 1}的排列，且H是p的子序列，在H上优美序列的个数。

 

我们枚举交换哪两个相邻元素(k,k+1)，然后判断k前面的所有数是否都小于后面的所有数，如果是则进行转移dp[n][low] += dp[k][low] * dp[n – k][low + k ] * C(n – 2, n – 1 - k)。

 

即前面的k个元素与后面的n - k个元素是两个独立的子问题，前面是{low ... low + k - 1}的排列，后面是{low + k ... low + n - 1}的排列，C(n - 2, n - 1 - k)代表的是在交换(k, k + 1)前左右两边还分别要进行n - 2次交换，而每次交换左边与交换右边是不同方案，这相当于n - 2个位置选择n - 1 - k个位置填入，故还需要乘上C(n - 2, n - 1 - k)。时间复杂度为O(n^4)。

 

 

代码之后加