不定积分与定积分（高等数学）

Posted 2023-04-05 ProgramStack

积分

• 定积分与不定积分的差别
• 不定积分的定义与计算
• • 不定积分的定义
  • 不定积分的计算
  • 定积分的定义
  • 定积分的计算

定积分与不定积分的差别

根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

不定积分的定义与计算

不定积分的定义

$\int f_{(x)}dx=F_{(x)}+C$设F(x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数$f(x)$的所有原函数$F(x)+C$(其中，C为任意常数）叫做函数$f(x)$的不定积分，又叫做函数$f(x)$的反导数，记作$\int f(x)dx或者\int f(x)$（高等微积分中常省去dx），即$\int f(x)dx=F(x)+C$。其中$\int$叫做积分号，$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量，$f(x)dx$叫做被积式，$C$叫做积分常数或积分常量，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行不定积分。

不定积分的计算

函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数$f(x)$及$g(x)$的原函数存在，则

求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数$f(x)$的原函数存在，$k$非零常数，则

定积分的定义

设函数$f(x)$ 在区间$[a,b]$上连续，将区间$[a,b]$分成n个子区间$[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],\dots ,(xn-1,xn]$，其中$x0=a，xn=b$。可知各区间的长度依次是：$△x1=x1-x0$，在每个子区间$(xi-1,xi]$中任取一点$\xi i（1,2,...,n）$，作和式。该和式叫做积分和，设$\lambda =max△x1,△x2,\dots ,△xn$（即λ是最大的区间长度），如果当$\lambda \to 0$时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数$f(x)$ 在区间$[a,b]$的定积分，记为，并称函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可积。 其中：$a$叫做积分下限，$b$叫做积分上限，区间$[a,b]$叫做积分区间，函数$f(x)$叫做被积函数，$x$叫做积分变量，$f(x)dx$ 叫做被积表达式，$∫ $叫做积分号。
之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数， 而不是一个函数。

定积分的计算

1. 当a=b时，${\int }_a^{b}f(x)dx=0$

2. 当a>b时，${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_a^{b}f(x)dx$

3. 常数可以提到积分号前。
   

4. 代数和的积分等于积分的代数和。
   

5. 定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有
   

6. 若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件。
   如果在区间[a,b]上，f(x)≥0,则
   

7. 积分中值定理：设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点ε在[a,b]内使
   

常见的积分公式如下：

以下的C都是指任意积分常数：

$\int adx=ax+C$，a是常数
$\int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C$，其中a为常数，且a$\ne$-1
$\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C$
$\int e^{x}dx=e^x+C$
$\int a^{x}dx=\frac{1}{lna}{a}^x+C$，其中a>0，且a$\ne$ 1
$\int sinxdx=-cosx+C$
$\int cosxdx=sinx+C$
$\int se{c}^{2}xdx-tanx+C$
$\int cs{c}^{2}xdx=-cotx+C$
∫ t a n x d x = − l n ∣ c o s x ∣ + C \\int tanxdx = -ln|cosx|+C <

高等数学总结（曲线，曲面积分1）



1）第一类曲线积分（对弧长的积分）

      对光滑曲线L,有某个函数f(x,y)在该曲线上有界，则有如下积分定义：
   
      被积函数f(x,y)表达了在曲线L上的一种数量性质，比如密度，热度之类的。
     第一类曲线积分有如下三个性质：
     A）常数因子可提，函数相加的弧长积分等于函数对弧长分别积分的和；
     B） 对弧长L的积分，如果L=L1+L2+...+Ln，则满足弧长L的积分等于各段弧长积分的和；（可加性）；
     C） 如果在弧长 L上，函数f(x,y)<=g(x,y)：

     D）第一类曲线积分公式（计算方法）：
       
       其中f(x,y)是弧段L上的某种性质(数量性)函数,L有参数方程给定:x=φ(t),y=ψ(t),α<=t<=β.

     第一类曲线积分可以很容易推广到三维空间：
   
   
2）对坐标的曲线积分：
对坐标的曲线积分，被积函数一般是弧段上的向量函数(比如求力函数的做功），这是与第一类积分中的积分函数所区别的地方。
其积分表达为：

其中P(x,y),Q(x,y)是被积函数。对应的向量形式为F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j
第二类曲线积分也很容易推广到三维空间，第二类曲线积分具有如下性质：
A）函数相加的积分等于各函数分别积分的和；（与第一类曲线积分类似）
B）积分区段可加性（与第一类曲线类似）
C）第2类曲线积分的积分弧段是有方向的，从A到B积分等于从B到A积分的相反数。（第一类积分不具有这种性质）
D）计算公式：

其中F(x,y)=P*i+Q*j是弧段L上的某种性质(向量性)函数,L有参数方程给定:x=φ(t),y=ψ(t),α<=t<=β.
对坐标的曲线积分也可以很容易推广到三维：

3）两类曲线之间的关系

其中cosα,cosβ是有向弧段L的切向量的方向余弦,满足：

4）格林公式：

格林公式提供了二重积分到坐标曲线积分之间的转换公式（弧长积分可以通过两类积分关系来变换）。
5）曲线积分与路径无关的充分必要条件是：
积分：

满足：

6）全微分求积
P(x,y)dx+Q(x,y)dy为某个函数u=u(x,y)的全微分的充分必要条件是：

B)全微分求积：

如果du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,u=u(x,y):
或者：

7）全微分方程：
     方程：P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某个函数u(x,y)的全微分,则方程是全微分方程。其通解如下：

8）曲线积分的基本定理：

9）第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：

其中f(x,y,z)是曲面z=z(x,y)上的向量性质函数。第一类曲面积分的性质与第一类曲线积分的性质类似；
10）第2类曲面积分：

性质和第二类曲线积分类似；
计算：

注意：z=z(x,y).类似的可以给出P,Q的积分方式,但要注意符号。

11)两类曲面积分的关系：

其中 α,β,γ是曲面Σ在点(x,y,z)的法向量的方向夹角。