[PKUSC2018]星际穿越(倍增)

Posted 2020-11-17 hocriser

题意：n个点的图，点i和[l[i],i)的所有点连双向边。每次询问(l,r,x)表示x到[l,r]的所有点的最短路径长度和。

首先这题显然可以线段树优化建图，但是需要比较好的常数才能通过45分，还需要发掘性质。

先不考虑往右走的情况，对于一个点x，每个点i与x的最短距离一定形成一个个连续区间，即：设f[i][j]表示i走j步能到的最左的点，则$f[i][j+1]=minlimits_{k=f[i][j]}^{i-1}l[k]$。所以只要往前扫一遍就能求出f[i]数组。

接着考虑往右走的情况，可以证明，一个点最多只需要往右走一次，所以只需要往后扫一遍就能求出新的f[i]数组。这样我们记录一个前缀和就可以在$O(n^2)$复杂度内解决问题。

可以发现f[i][j]这个数组显然是可以倍增优化的，直接套上RMQ类似的模板即可。

这里有一个简化代码的方法，就是f[i][j]改为表示[i..n]的所有点走$2^j$步之后能到达的最靠前的点，这样就可以直接倍增转移了。但是这样就要判断i最后是否需要先往右走一步，这里又有一个小技巧：先强制往左走一步，剩下的直接处理即可。

总码长不到1k。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #define rep(i,l,r) for (int i=(l); i<=(r); i++)
 4 typedef long long ll;
 5 using namespace std;
 6 
 7 const int N=300010;
 8 int n,Q,l,r,x,L[N],to[20][N];
 9 ll sm[20][N];
10 
11 int gcd(int a,int b){ return b ? gcd(b,a%b) : a; }
12 
13 ll calc(int l,int r){
14     if (L[r]<=l) return r-l;
15     ll ans=r-L[r]; r=L[r]; int tot=1;
16     for (int i=19; ~i; i--)
17         if (to[i][r]>l) ans+=sm[i][r]+tot*(r-to[i][r]),r=to[i][r],tot+=1<<i;
18     return ans+(r-l)*(tot+1);
19 }
20 
21 int main(){
22     freopen("pkua.in","r",stdin);
23     freopen("pkua.out","w",stdout);
24     scanf("%d",&n); L[1]=1;
25     rep(i,2,n) scanf("%d",&L[i]);
26     to[0][n]=L[n]; sm[0][n]=n-L[n];
27     for (int i=n-1; i; i--) to[0][i]=min(to[0][i+1],L[i]),sm[0][i]=i-to[0][i];
28     rep(i,1,19) rep(j,1,n) if (to[i-1][j]){
29         to[i][j]=to[i-1][to[i-1][j]];
30         sm[i][j]=sm[i-1][j]+sm[i-1][to[i-1][j]]+(to[i-1][j]-to[i][j])*(1ll<<(i-1));
31     }
32     for (scanf("%d",&Q); Q--; ){
33         scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
34         ll a=calc(l,x)-calc(r+1,x),b=r-l+1; int d=gcd(a%b,b);
35         printf("%lld/%lld
",a/d,b/d);
36     }
37     return 0;
38 }