如何生成“厚”贝塞尔曲线？

Posted 2021-04-12

我正在寻找一种通过“加厚”Bezier曲线以编程方式生成多边形的方法。像这样的东西：

我最初的想法是找到行中的法线，并从中生成多边形：

但问题是法线可以在陡峭的曲线中相互交叉，如下所示：

是否有任何公式或算法可以从贝塞尔曲线生成多边形？我在互联网上找不到任何信息，但也许我正在用错误的词语搜索...

答案

如果您想要一个恒定的厚度，这称为偏移曲线，您使用法线的想法是正确的。

这确实提出了两个困难：

1. 偏移曲线不能完全表示为贝塞尔曲线;您可以使用折线，或将Beziers改造为折线;
2. 当曲率半径变得小于偏移宽度时，确实出现尖点。您必须检测折线的自交叉点。

据我所知，没有简单的解决方案。

有关更多信息，请查看38. Curve offsetting。

另一答案

我写了一篇关于生成偏移曲线的过程的博客：http://brunoimbrizi.com/unbox/2015/03/offset-curve/

这是一个互动的例子：http://codepen.io/brunoimbrizi/pen/VYEWgY

// code is too big to post here, please see the source on codepen

另一答案

这是一个难题。有像Tiller-Hanson这样的合理近似值（参见我对这个问题的答案：How to get the outline of a stroke?），但提问者特别提出了“法线在陡峭曲线中可以相互交叉”的难度;另一种看待它的方法是，使用法线创建的包络可以产生无限大量的循环，这取决于法线的间隔距离。

一个完美的解决方案，没有自我交叉，是一个圆和线的Minkowski sum的包络。我认为获得这样一个信封是不切实际的：你可能不得不接受交叉点。

另一个有趣但又令人生畏的事实是，正如Richard Kinch在MetaFog: Converting METAFONT Shapes to Contours中所说的那样，“代数告诉我们沿着三次多项式曲线（描边路径的Bézier曲线）产生三次多项式曲线（由Bézier曲线近似的椭圆）在6度包络线中，我们必须用3度（贝塞尔曲线）近似这些6度精确包络线“。