使用最少的矩形覆盖折线，同时保持其连续性

Posted 2021-04-12

给定形成折线的点列表，以及矩形的高度和宽度，如何找到覆盖所有点所需的所有矩形的数量和位置？

矩形应该旋转并且可以重叠，但必须遵循折线的路径（矩形可以包含线的多个线段，但每个矩形必须包含与前一个矩阵相邻的线段。）

在可能的情况下，在矩形的最小边上进行交叉是非常值得赞赏的。

到目前为止我找到的所有解决方案都不干净，这是我得到的结果：

您应该看到它在接近平坦的情况下提供良好的渲染，但在大的路缘中重叠太多。如果前一个矩形被偏移，则可以清楚地移除一个矩形。

实际上，我沿着直线放置一个以宽度/ 2为中心的矩形，并使用凸包和改进的旋转卡尺算法旋转它，并重复从前一个矩形和直线的交点开始。

您可能会发现我从最小化的矩形边界框算法中获取灵感，用于方向，但它不包括切割方面，也不包括固定大小。

谢谢你的帮助！

答案

这有点晚了，你可能已经想到了这一点。但是，我今天有空，并且研究了上次编辑中反映的约束（段的连续性）。正如我在评论中所说，我建议使用贪心算法。它由两部分组成：

1. 搜索算法从初始点（我使用binary search algorithm）查找最远点，以便它们之间的所有点位于给定w和h的矩形内。
2. 一个重复的循环，在每一步找到最佳矩形并提升初始点。

它们的伪代码分别如下：

function getBestMBR( P, iFirst, w, h )
    nP = length(P);
    iStart = iFirst;
    iEnd = nP;
    while iStart <= iEnd
        m = floor((iStart + iEnd) / 2);
        MBR = getMBR(P[iFirst->m]);
        if (MBR.w < w) & (MBR.h < h) {*}
            iStart = m + 1;
            iLast = m;
            bestMBR = MBR;
        else
            iEnd = m - 1;
        end
    end
    return bestMBR, iLast;
end

function getRectList( P, w, h )
    nP = length(P);
    rects = [];
    iFirst = 1;
    iLast = iFirst;
    while iLast < nP
        [bestMBR, iLast] = getBestMBR(P, iFirst, w, h);
        rects.add(bestMBR.x, bestMBR.y, bestMBR.a];
        iFirst = iLast;
    end
    return rects;

测试用例1的解决方案：

测试用例2的解决方案：

请记住，它并不是要找到最佳解决方案，而是在合理的时间内找到次优解决方案。毕竟这是greedy。

另一点是，您可以稍微改进一下，以减少矩形的数量。正如您在标有(*)的行中看到的那样，我在MBR（Minimum Bounding Rectangle）的方向上保持得到矩形，即使您可以覆盖具有相同w和h的矩形的较大MBR，如果旋转矩形。 （1）（2）

另一答案

我修改了k-means来解决这个问题。它并不快，它不是最佳的，它不能保证，但（恕我直言）这是一个良好的开端。有两个重要的修改：

1-距离测量

我使用Chebyshev-distance启发的测量来查看每个矩形的点数。为了找到从点到每个矩形的距离，首先我将所有点转换为新的坐标系，移动到矩形的中心并旋转到它的方向：

然后我使用这些变换点来计算距离：

d = max(2*abs(X)/w, 2*abs(Y)/h);

对于距矩形每边具有相同距离的所有点，它将给出相等的值。对于位于矩形内的点，结果将小于1.0。现在我们可以将点分类为最近的矩形。

2-更新集群中心的策略

每个聚类中心都是C，矩形中心和a的组合，它的旋转角度。在每次迭代时，将新的点集分配给集群。在这里，我们必须找到C和a，以便矩形覆盖最大可能的点数。如果有解决方案，我现在不用，但我采用了统计方法。我使用点的加权平均值更新了C，并使用点的第一个principal component的方向来更新a。我使用了由500提供的建议距离的结果作为加权平均值中每个点的权重。它将矩形移向位于其外部的点。

如何找到K.

用1开始并增加它直到从点到它们相应的矩形的所有距离变得小于1.0，这意味着所有点都在矩形内。

结果

更新聚类中心（矩形）的迭代0,10,20,30,40和50：

测试用例1的解决方案：

尝试Ks：2,4,6,8,10和12完全覆盖：

测试用例2的解决方案：

P.M：我使用了部分Chalous Road作为数据。从Google Maps下载它很有趣。我使用的技术描述了here来采样一组等间距点。