Nurbs曲线（2D）固定长度参数化

Posted 2021-04-12

我有一个代表2D Nurbs曲线的类

class Nurbs2D {...};

数据成员是控制点（Point2D的std :: vector），结矢量（std :: vector of double），weight（std :: vector of double），degree（隐含基于控制点数和结矢量）

API：我能够构建在t0和t1之间参数化的曲线。给定参数t（t0 <= t <= t1），我也能够计算Point2D。

给定参数ti，我想估计下一个参数ti + 1，使得沿着曲线从ti到ti + 1的距离等于Di（在公差dt内给定Di）。需要两个函数，一个用于计算从ti到ti + 1的长度，另一个用于在给定ti，Di和dt的情况下估计ti + 1。

C ++中的代码非常有用。我正在寻找速度超过准确度，因为调整容差dt将使结果适合。

答案

计算NURBS曲线的弧长非常复杂。您需要在两个给定参数值之间积分差分的长度。即使对于简单的二次B样条，这也会变得混乱，如this question所示。

由于您不专注于准确性，因此可能足以以数字方式近似长度。 Math.SE问题下的答案之一指向了您可以使用的细分方案。您可以将此扩展到NURBS。但是，更简单的方法可能适合您的应用：只需在您感兴趣的区间内的多个均匀间隔的样本点处评估曲线。然后，计算此采样的折线长度。可以通过基于曲率改变采样密度来改进该方法。但统一的方法可能对你有用。准确度与您使用的样本数量相关。

要在当前点dl之前得到一个t长度单位的点，你可以做类似的事情：选择一个小的增量dt并评估该间距中的点（即t, t + dt, t + 2dt, t + 3dt ...），同时测量折线的长度直到你的目标长度到达了。如果你在最后一个间隔内射击目标，你可以减少最后一部分的dt，直到达到所需的精度。