HDU.2899.Strange fuction(牛顿迭代)

Posted 2020-11-17 sovietpower

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(Description)

　　求函数(F(x)=6 imes x^7+8 imes x^6+7 imes x^3+5 imes x^2-y imes x)在(xin left[0,100 ight])时的最小值。

(Solution)

　　(xgeq 0)时(F(x))为单峰凹函数，三分即可。
　　而且由此可知(F(x))的导数应是单增的。函数最值可以转化为求导数零点问题，于是也可以二分求(F'(x))的零点，或者用牛顿迭代求。
　　峰值函数最值也可以用模拟退火求。
　　练习下牛顿迭代。其它代码可以见这。

　　牛顿迭代：[x=x_0-frac{F(x_0)}{F'(x_0)}]
　　对(F(x))泰勒展开，(F(x)=F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0)+frac{F''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+ldots+frac{F^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x))
　　为方便计算？只保留线性部分(F(x)=F(x_0)+F'(x_0)(x-x_0))
　　就可以得到(x=x_0-frac{F(x_0)}{F'(x_0)})
　　多次迭代、多次选取(x_0)即可。

//0MS   1628K
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define eps (1e-7)

double y;
inline double f(double x){
    return 6*pow(x,7)+8*pow(x,6)+7*pow(x,3)+5*x*x-y*x;
}
inline double fd(double x){
    return 42*pow(x,6)+48*pow(x,5)+21*x*x+10*x-y;
}
inline double fdd(double x){
    return 252*pow(x,5)+240*pow(x,4)+42*x+10;
}
double Get_zero(double x)
{
    double las=x+1;
    while(fabs(las-x)>eps) las=x, x=x-fd(x)/fdd(x);
    return x;
}

int main()
{
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%lf",&y);
        double ans=1e15;
        for(int i=0; i<=100; i+=10) ans=std::min(ans,f(Get_zero(i)));
        printf("%.4lf
",ans);
    }
    return 0;
}