使用最少的更改次数将树转换为堆

Posted 2021-04-06

给定k-ary树，我想将其转换为具有最小更改次数的最小堆。更改定义为重新标记节点。

我发现的一个解决方案是，我可以尝试更改节点值或不更改的dp解决方案。但它的时间复杂度会呈指数级增长吗？任何想法，（最好是最优证明）。

示例：说树是1-3,3-2,1-4,4-5。其中1是root。然后我可以将节点3重新标记为1或2，即1变化它变为最小堆。

答案

如果您只想确保树满足堆属性（存储在每个节点中的密钥小于或等于存储在节点子节点中的密钥），那么您应该能够使用类似构建的东西 - 堆算法，以O（n）运行。

考虑这棵树：

                    8
              -------------
             |      |      |
            15      6      19
           /       |    / |  
          7    3    5   12 9  22

现在，从下往上工作，你将每个节点尽可能地推到树下。也就是说，如果节点大于其子节点，则将其替换为其子节点中的最小节点，并在必要时直到达到叶级别为止。

例如，你看一个值为15的节点。它比它的最小子节点大，所以你交换它，制作子树：

           3
         /   
        7     15

此外，6个交换位置有5个，19个交换位置有9个，给你这棵树：

                    8
              -------------
             |      |      |
             3      5      9 
            /      |    / |  
           7  15    6   12 19  22

请注意，在叶级别的下一个节点，每个节点都小于其最小的子节点。

现在，根。由于规则是将节点与其最小的子节点交换，因此将8与3交换，给出：

                    3
              -------------
             |      |      |
             8      5      9 
            /      |    / |  
           7  15    6   12 19  22

但是你没有完成，因为8大于7.你用8交换8，你得到这棵树，符合你的条件：

                    3
              -------------
             |      |      |
             7      5      9 
            /      |    / |  
           8  15    6   12 19  22

如果树是平衡的，则整个过程具有复杂度O（n）。如果树严重不平衡，则复杂度为O（n ^ 2）。无论树的初始顺序如何，都有一种方法可以保证O（n），但它需要改变树的形状。

我不会声称算法保证任何给定树的“最小更改次数”。但是，我可以证明，对于平衡树，算法是O（n）。请参阅https://stackoverflow.com/a/9755805/56778，它解释了二进制堆。该解释也适用于d-ary堆。