红黑树(更高级的二叉查找树)

Posted 2023-04-04 兔子队列

目录

介绍及性质

红黑树的基本定义

黑高度

时间复杂度

接近于“平衡”操作

红黑树的旋转

红黑树中插入新结点

红黑树中删除结点

红黑树与AVL树的区别

---

• 介绍及性质

• 红黑树（R-B TREE，全称：Red-Black Tree），本身是一棵二叉查找树，在其基础上附加了两个要求：
  • 1. 树中的每个结点增加了一个用于存储颜色的标志域；
  • 2. 树中没有一条路径比其他任何路径长出两倍，整棵树要接近于“平衡”的状态
• 这里所指的路径，指的是从任何一个结点开始，一直到其子孙的叶子结点的长度；
• 接近于平衡：红黑树并不是平衡二叉树，只是由于对各路径的长度之差有限制，所以近似于平衡的状态
• 红黑树对于结点的颜色设置不是任意的，需满足以下性质的二叉查找树才是红黑树：
  • 树中的每个结点颜色不是红的，就是黑的；
  • 根结点的颜色是黑的；
  • 所有为 nil 的叶子结点的颜色是黑的；（注意：叶子结点说的只是为空（nil 或 NULL）的叶子结点！）
  • 如果此结点是红的，那么它的两个孩子结点全部都是黑的；
  • 对于每个结点，从该结点到到该结点的所有子孙结点的所有路径上包含有相同数目的黑结点；

    

• 哪些性质反映了红黑树结构的平衡？
• 性质5 反映了红黑树结构的平衡
• 它确保从任意一个节点出发到其叶子节点的所有路径中，最长路径长度也不会超过最短路径长度的两倍；因而，红黑树是相对接近平衡的二叉树
• 而且性质5 明显指出每个节点的左右子树中黑节点的层数是相等的，因此红黑树的黑节点是完美平衡的

• 红黑树的基本定义

  

• 

• 黑高度

• 注意：图中每个结点附带一个整形数值，表示的是此结点的黑高度（从该结点到其子孙结点中包含的黑结点数，用 bh(x) 表示（x 表示此结点））
• nil 的黑高度为 0，颜色为黑色（在编程时为节省空间，所有的 nil 共用一个存储空间）
• 在计算黑高度时，也看做是一个黑结点
• 红黑树中每个结点都有各自的黑高度，整棵树也有自己的黑高度，即为根结点的黑高度，例如图中的红黑树的黑高度为 3

• 时间复杂度

• 对于一棵具有 n 个结点的红黑树，树的高度至多为：2lg(n+1)
• 由此可推出红黑树进行查找操作时的时间复杂度为 O(lgn)，因为对于高度为 h 的二叉查找树的运行时间为 O(h)，而包含有 n 个结点的红黑树本身就是最高为 lgn（简化之后）的查找树（h=lgn），所以红黑树的时间复杂度为 O(lgn)

• 接近于“平衡”操作

• 红黑树本身作为一棵二叉查找树，所以其任务就是用于动态表中数据的插入和删除的操作
• 在进行该操作时，避免不了会破坏红黑树的结构，此时就需要进行适当的调整，使其重新成为一棵红黑树，可以从两个方面着手对树进行调整：
  • 调整树中某些结点的指针结构；
  • 调整树中某些结点的颜色；

• 红黑树的旋转

• 当使用红黑树进行插入或者删除结点的操作时，可能会破坏红黑树的 5 条性质，从而变成了一棵普通树
• 此时就可以通过对树中的某些子树进行旋转，从而使整棵树重新变为一棵红黑树
• 旋转操作分为左旋和右旋

  

• 左旋：如图所示，左旋时 y 结点变为该部分子树的根结点，同时 x 结点（连同其左子树 a）移动至 y 结点的左孩子
• 若 y 结点有左孩子 b，由于 x 结点需占用其位置，所以调整至 x 结点的右孩子处

  

• 
• 右旋：如图所示，同左旋是同样的道理，x 结点变为根结点，同时 y 结点连同其右子树 c 作为 x 结点的右子树，原 x 结点的右子树 b 变为 y 结点的左子树

  

• 

• 红黑树中插入新结点

• 为什么新插入的节点颜色是红的？
• 将新插入的节点着色为红色，不会违背特性5
• 少违背一条特性，就意味着我们需要处理的情况越少
• 当创建一个红黑树或者向已有红黑树中插入新的数据时，只需要按部就班地执行以下 3 步：
  • 由于红黑树本身是一棵二叉查找树，所以在插入新的结点时，完全按照二叉查找树插入结点的方法，找到新结点插入的位置；
  • 将新插入的结点结点初始化，颜色设置为红色后插入到指定位置；（将新结点初始化为红色插入后，不会破坏红黑树第 5 条的性质）
  • 由于插入新的结点，可能会破坏红黑树第 4 条的性质（若其父结点颜色为红色，就破坏了红黑树的性质），此时需要调整二叉查找树，想办法通过旋转以及修改树中结点的颜色，使其重新成为红黑树！
• 插入结点的第 1 步和第 2 步都非常简单，关键在于最后一步对树的调整！
• 在红黑树中插入结点时，根据插入位置的不同可分为以下 3 种情况：
• 1. 插入位置为整棵树的树根；处理办法：只需要将插入结点的颜色改为黑色即可
• 2. 插入位置的双亲结点的颜色为黑色；处理方法：此种情况不需要做任何工作，新插入的颜色为红色的结点不会破坏红黑树的性质
• 3. 插入位置的双亲结点的颜色为红色；处理方法：由于插入结点颜色为红色，其双亲结点也为红色，破坏了红黑树第 4 条性质，此时需要结合其祖父结点和祖父结点的另一个孩子结点（父结点的兄弟结点，此处称为“叔叔结点”）的状态，分为 3 种情况讨论:
  • 当前结点的父节点是红色，且“叔叔结点”也是红色：破坏了红黑树的第 4 条性质，解决方案为：将父结点颜色改为黑色；将叔叔结点颜色改为黑色；将祖父结点颜色改为红色；下一步将祖父结点认做当前结点，继续判断，处理结果如下图所示

    

    • 分析：此种情况下，由于父结点和当前结点颜色都是红色，所以为了不产生冲突，将父结点的颜色改为黑色
    • 但是虽避免了破坏第 4 条，但是却导致该条路径上的黑高度增加了 1 ，破坏了第 5 条性质
    • 但是在将祖父结点颜色改为红色、叔叔结点颜色改为黑色后，该部分子树没有破坏第 5 条性质
    • 但是由于将祖父结点的颜色改变，还需判断是否破坏了上层树的结构，所以需要将祖父结点看做当前结点，继续判断
  • 当前结点的父结点颜色为红色，叔叔结点颜色为黑色，且当前结点是父结点的右孩子；解决方案：将父结点作为当前结点做左旋操作

    

    • 提示：在进行以父结点为当前结点的左旋操作后，此种情况就转变成了第 3 种情况，处理过程跟第 3 种情况同步进行
  • 当前结点的父结点颜色为红色，叔叔结点颜色为黑色，且当前结点是父结点的左孩子；解决方案：将父结点颜色改为黑色，祖父结点颜色改为红色，从祖父结点处进行右旋处理；如下图所示：

    

    • 分析：在此种情况下，由于当前结点 F 和父结点 S 颜色都为红色，违背了红黑树的性质 4，此时可以将 S 颜色改为黑色，有违反了性质 5，因为所有通过 S 的路径其黑高度都增加了 1 ，所以需要将其祖父结点颜色设为红色后紧接一个右旋，这样这部分子树有成为了红黑树（上图中的有图虽看似不是红黑树，但是只是整棵树的一部分，以 S 为根结点的子树一定是一棵红黑树）
• 内部接口 -- insert(node)的作用是将"node"节点插入到红黑树中
• 外部接口 -- insert(key)的作用是将"key"添加到红黑树中

  

• 

•  

• 

• 

• 

• 

• 

• 红黑树中删除结点

• 在红黑树中删除结点，思路更简单，只需要完成 2 步操作：
  • 1. 将红黑树按照二叉查找树删除结点的方法删除指定结点；
  • 2. 重新调整删除结点后的树，使之重新成为红黑树；（还是通过旋转和重新着色的方式进行调整）
• 在二叉查找树删除结点时，分为 3 种情况：
  • 若该删除结点本身是叶子结点，则可以直接删除；
  • 若只有一个孩子结点（左孩子或者右孩子），则直接让其孩子结点顶替该删除结点；
  • 若有两个孩子结点，则找到该结点的右子树中值最小的叶子结点来顶替该结点，然后删除这个值最小的叶子结点
• 以上三种情况最终都需要删除某个结点，此时需要判断删除该结点是否会破坏红黑树的性质，判断的依据是：
  • 1. 如果删除结点的颜色为红色，则不会破坏；
  • 2. 如果删除结点的颜色为黑色，则肯定会破坏红黑树的第 5 条性质，此时就需要对树进行调整，调整方案分 4 种情况讨论：
    • 删除结点的兄弟结点颜色是红色，调整措施为：将兄弟结点颜色改为黑色，父亲结点改为红色，以父亲结点来进行左旋操作，同时更新删除结点的兄弟结点（左旋后兄弟结点发生了变化），如下图所示：

      

    • 删除结点的兄弟结点及其孩子全部都是黑色的，调整措施为：将删除结点的兄弟结点设为红色，同时设置删除结点的父结点标记为新的结点，继续判断；
    • 删除结点的兄弟结点是黑色，其左孩子是红色，右孩子是黑色。调整措施为：将兄弟结点设为红色，兄弟结点的左孩子结点设为黑色，以兄弟结点为准进行右旋操作，最终更新删除结点的兄弟结点；
    • 删除结点的兄弟结点是黑色，其右孩子是红色（左孩子不管是什么颜色），调整措施为：将删除结点的父结点的颜色赋值给其兄弟结点，然后再设置父结点颜色为黑色，兄弟结点的右孩子结点为黑色，根据其父结点做左旋操作，最后设置替换删除结点的结点为根结点；
• 红黑树，虽隶属于二叉查找树，但是二叉查找树的时间复杂度会受到其树深度的影响，而红黑树可以保证在最坏情况下的时间复杂度仍为 O(lgn)
• 当数据量多到一定程度时，使用红黑树比二叉查找树的效率要高
• 内部接口 -- remove(node)的作用是将"node"节点插入到红黑树中
• 外部接口 -- remove(key)删除红黑树中键值为key的节点

  

• 

• 

• 

•  

• 

• 

•  

• 

• 

• 

• 

• 红黑树与AVL树的区别

• 1---为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？
• 红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少，结点增删操作相比 AVL 树的效率更高
• 2---和红黑树相比，AVL树是严格的平衡二叉树，平衡条件必须满足（所有节点的左右子树高度差不超过1）；不管是执行插入还是删除操作，只要不满足上面的条件，就要通过旋转来保持平衡，而旋转是非常耗时的，由此可以知道AVL树适合用于插入与删除次数比较少，但查找多的情况
• 3---AVL树追求绝对平衡，条件比较苛刻，实现起来比较麻烦，每次插入新节点之后需要旋转的次数不能预知
• 4---由于维护这种高度平衡所付出的代价比从中获得的效率收益还大，故而实际的应用不多，更多的地方是用追求局部而不是非常严格整体平衡的红黑树；当然，如果应用场景中对插入、删除不频繁，只是对查找要求较高，那么AVL还是较优于红黑树
• 5---相较红黑树AVL树查找性能更快
• 6---红黑树放弃了追求完全平衡，而是追求大致平衡，在与AVL树的时间复杂度相差不大的情况下，保证每次插入最多只需要三次旋转就能达到平衡，维持平衡的时间消耗较少，实现起来也更为简单
• 7---相对于要求严格平衡的AVL树来说，它的旋转次数少，对于插入、删除操作较多的情况下，选择红黑树
• 8---红黑树的查询性能略微逊色于AVL树，因为其比AVL树会稍微不平衡最多一层，也就是说红黑树的查询性能只比相同内容的AVL树最多多一次比较，但是，红黑树在插入和删除上优于AVL树，AVL树每次插入删除会进行大量的平衡度计算，而红黑树为了维持红黑性质所做的红黑变换和旋转的开销，相较于AVL树为了维持平衡的开销要小得多

红黑树--优化的二叉搜索树

在分享红黑树之前，先看一下下面的这棵二叉搜索树

这是一棵平衡的二叉搜索树，现在要在其中插入下列一组数据：

19，18，17，16，15，14，13，12

根据上一篇分享的二叉搜索树的插入过程，将这些数字按顺序插入后，上面的二叉搜索树，最终变成了下面这个样子

现在这个仍然是一个二叉搜索树，但是原本平衡的结构，现在变成了一条腿的瘸子了，其结构已经接近成了线性的，这样的话其查找、插入等操作效率就大打折扣了。因为二叉搜索树只有保持近似平衡，才能保证其O(lg n)的时间复杂度。

红黑树正是为了解决这个问题而生。

红黑树的性质

为了解决上面的问题，红黑树为每个结点添加了一个属性color，规定：

1、红黑树的每个结点，要么是红，要么是黑

2、红黑树的根结必须是黑色

3、红黑树所有的叶子结点都是黑色

4、红黑树中如果有一个结点是红色的，那么它的两个孩子结点必须是黑色

5、从红黑树中任意一个结点（不包含该结点）到叶子结点的简单路径上，黑色结点的数量是相同的

这里需要说一下叶子结点是什么？

红黑树定义结点时需要定义5个属性，color(颜色)、key(结点保存的值)、p(结点的父结点)、left(结点的左孩子结点)、right(结点的右孩子结点)，如果一个结点没有子结点，那就规定p、left、right，这几个指针都指向一个NIL，这个NIL称为叶子结点，它除了color为黑色外，其它的属性值随意。

下面这个图是一个标准的红黑树的示意，可以对照着红黑树的性质看一下它是否满足上面的五条性质。

1、所在点或红或黑(满足)

2、根结点12是黑色(满足)

3、所有没有子结点的结点都指向NIL叶子结点，并且NIL为黑色(满足)

4、所有红色结点的子结点都是黑色(满足)

5、经查，第五条性质也(满足)

所以它是一个红黑树。

关于这张图做叶子结点示意时我们这样画，但是一般情况下，我们不用画出NIL叶子 结点，如下图即可：

红黑树的操作

由于红黑树本质上是一棵二叉搜索树，所以对上篇分享

（如果没有看，可以点此链接查看）中提到的：遍历、查找、找前驱/后继、获取最小/大值、这些操作在红黑树上同样适用。

而插入和删除操作，在这里就不适用了。因为这两操作可能会对红黑树的性质造成破坏。

现在进行插入两个数字，看看是如何破坏红黑树性质的，现在插入：1

对比五个性质，现在这棵树仍然保持了红黑树的性质，没有问题。

现在再插入：10

现在就出问题了，结点9是红色，按照性质4，红色结点的孩子结点必须是黑色，红黑树的性质被破坏。经过筛查，插入10这个操作，仅仅对性质4产生了影响，其它4个性质仍然保持。

从上面的两个插入操作，插入1、插入10，可以看出，

插入的新结点是黑色结点的孩子的话，不会对红黑树的性质产生影响，

插入的新结点是红色结点的孩子的话，会对性质4产生影响，破坏红黑树的性质

除了上面在红色结点下面插入会破坏红黑树的性质外，还有一种情况会破坏性质，那就是在空树上插入，因插入的新结点是红色，它做了树根，这样就破坏了性质2

如何解决插入新结点带来的破坏红黑树的性质问题呢，那就需要对新插入的结点进行一番调整

维护红黑树性质的操作

为了维护被破坏的性质，有两种操作可以使用：

一种是变色，这个很好理解，就是让原先是黑色的结点变成红色，红色的结变成黑色。

另一种是旋转，旋转分为左旋和右旋

左旋：对任意一个右孩子不为空的结点x，与它的右孩子y，进行逆时针旋转操作

看下左旋的示意图吧，初始的树内结构如下图：

现在选定结点3为x，结点7为x的右孩子，也就是y进行左旋操作，

操作后如下图：

从结果中可以看出，y变成了x的父结点，x变成了y的左孩子，原先y的左孩子6变成了x的右孩子。

左旋操作的结果就是将结点的右孩子变成结点的父结点，结点变成右孩子的左孩子，结点的右孩子的左孩子变成结点的右孩子(有点绕，对着图看应该很好理解)。

右旋操作与左旋正好反，选定一个左孩子不为空的结点，和其左孩子，然后对其顺时针旋转：

右旋后，恢复了最开始的样子：

右旋操作的结果：将结点的左孩子变成了结点的父结点，结点变成了其左孩子的右孩子，结点的左孩子的右孩子变成了结点的左孩子

从上面的左旋和右旋示意当中可以看出，两种旋转后，整棵树还是一棵二叉搜索树。

插入操作时三种情况利用相应变色和旋转维护红黑树性质

现在假设插入新结点5，x指针指向5这个结点，可以看出5 的插入破坏了红黑树的性质4，需要对新插入的结点进行调整。

第一种情况：如果新结点的父结点是红色，其叔父结点（祖父的右孩子）也是红色，则需要执行操作，改变父结点与叔父结点为黑色，祖父结点为红色，同时x指针指向其祖父结点

在上图中x的父结点6是红色，叔父结点9也是红色，祖父结点7是黑色，所以执行操作，让6和9变黑，7变红，同时让x指针指向7。

现在x指针指向的7是新的需要调整的结点。

第二种情况：如果要调整的结点的父结点是红色，其叔父结点是黑色，并且x是其父结点的右孩子，则执行，先将x指针指向其父结点，然后对其父结点执行左旋操作

上图中要调整的结点是x指向的结点7，其父结点是3，叔父结点是14，同时x是3的右孩子，所以可执行第二种情况，先将x指向3，然后对3执行左旋。

第三种情况：如果要调整的结点的父结点是红色，其叔父结点是黑色，并且x是其父结点的左孩子，则执行，将其父结点改变为黑色，其祖父结点改变为红色，然后对其祖父执行右旋操作

对于上图，先将父结点7改为黑色，祖父结点12改为红色

然后对祖父结点12执行右旋操作

现在再观察，x指向的结点的父结点7是黑色，而我们调整时其父结点为红色时才会执行调整。所以到此整个调整就结束了，可以看到新插入结点5后，被破坏的红黑树的性质，经过调整，现在又恢复了红黑树性质。

与上面三种情况相对称的还有三种，

第一种情况：如果新结点的父结点是红色，其叔父结点（祖父的左孩子）也是红色，则需要执行操作，改变父结点与叔父结点为黑色，祖父结点为红色，同时x指针指向其祖父结点

第二种情况：如果要调整的结点的父结点是红色，其叔父结点是黑色，并且x是其父结点的左孩子，则执行，先将x指针指向其父结点，然后对其父结点执行右旋操作

第三种情况：如果要调整的结点的父结点是红色，其叔父结点是黑色，并且x是其父结点的左孩子，则执行，将其父结点改变为黑色，其祖父结点改变为红色，然后对其祖父执行右旋操作

下面图示过程：不再解释了哈。

import java.util.Arrays;
public class RbTree { public static String RED = "red"; public static String BLACK = "black";
 public RbNode root;
 public static class RbNode { public String color; public int aValue; public RbNode p; public RbNode left; public RbNode right; }
 // 实现中序遍历 public void accessTree(RbNode n) { if (n != null) { accessTree(n.left);// 先访问左孩子 System.out.print(n.aValue); // 输出根结点的值 System.out.print(","); accessTree(n.right);// 最后访问右孩子 } }
 public void leftRotate(RbTree tree, RbNode nodeRotate) { RbNode y = nodeRotate.right;// 旋转结点的右孩子 y, nodeRotate.right = y.left;// 旋转结点的右孩子设置为其右孩子的左孩子 if (y.left != null) {// 旋转结点的右孩子的左孩子不为null y.left.p = nodeRotate;// 旋转结点的右孩子的左孩子的父结点设置为旋转结点 } y.p = nodeRotate.p;// 旋转结点的右孩子的左孩子的父结点设置为旋转结点父结点
 if (nodeRotate.p == null) { tree.root = y; } else if (nodeRotate == nodeRotate.p.left) { nodeRotate.p.left = y; } else { nodeRotate.p.right = y; }
 y.left = nodeRotate; nodeRotate.p = y; }
 public void rightRotate(RbTree tree, RbNode nodeRotate) { RbNode y = nodeRotate.left; nodeRotate.left = y.right; if (y.right != null) { y.right.p = nodeRotate; } y.p = nodeRotate.p;
 if (nodeRotate.p == null) { tree.root = y; } else if (nodeRotate == nodeRotate.p.left) { nodeRotate.p.left = y; } else { nodeRotate.p.right = y; }
 y.right = nodeRotate; nodeRotate.p = y; }
 public void treeInsert(RbTree tree, RbNode nodeInsert) { RbNode pos = null;// 记录找到插入位置 RbNode y = tree.root; while (y != null) { pos = y; if (nodeInsert.aValue < y.aValue) { y = y.left; } else { y = y.right; } } // 下面代码设置x和它的父结点的各个属性 nodeInsert.p = pos; if (pos == null) {// 如果pos为null说明树中原来没有结点，则新插入结点调置为树根 tree.root = nodeInsert; } else if (nodeInsert.aValue < pos.aValue) { pos.left = nodeInsert; } else { pos.right = nodeInsert; }
 nodeInsert.left = null; nodeInsert.right = null; nodeInsert.color = RbTree.RED;
 insertFixup(tree, nodeInsert); }
 public void insertFixup(RbTree tree, RbNode nodeFixup) {
 while (nodeFixup.p != null && nodeFixup.p.color == RbTree.RED) { RbNode uncle = null; if (nodeFixup.p == nodeFixup.p.p.left) { uncle = nodeFixup.p.p.right; if (uncle != null && uncle.color == RbTree.RED) { nodeFixup.p.color = RbTree.BLACK; //第一种情况 uncle.color = RbTree.BLACK; //第一种情况 nodeFixup.p.p.color = RbTree.RED; //第一种情况 nodeFixup = nodeFixup.p.p; //第一种情况 } else { if (nodeFixup == nodeFixup.p.right) { nodeFixup = nodeFixup.p; //第二种情况 leftRotate(tree, nodeFixup); //第二种情况 } else { nodeFixup.p.color = RbTree.BLACK; //第三种情况 nodeFixup.p.p.color = RbTree.RED; //第三种情况 rightRotate(tree, nodeFixup.p.p); //第三种情况 } } } else { uncle = nodeFixup.p.p.left; if (uncle != null && uncle.color == RbTree.RED) { nodeFixup.p.color = RbTree.BLACK;//对称的第一种情况 uncle.color = RbTree.BLACK; //对称的第一种情况 nodeFixup.p.p.color = RbTree.RED;//对称的第一种情况 nodeFixup = nodeFixup.p.p; //对称的第一种情况 } else { if (nodeFixup == nodeFixup.p.left) { nodeFixup = nodeFixup.p; //对称的第二种情况 rightRotate(tree, nodeFixup); //对称的第二种情况 } else { nodeFixup.p.color = RbTree.BLACK; //对称的第三种情况 nodeFixup.p.p.color = RbTree.RED; //对称的第三种情况 leftRotate(tree, nodeFixup.p.p); //对称的第三种情况 } } } } tree.root.color = RbTree.BLACK; // 最后，如果根是红色，直接赋值为黑色，应对空树插入情况 }
 public static void main(String[] args) { int[] array = new int[] {11,9,8,7,6,5,4,3,2,1}; System.out.println(Arrays.toString(array)); RbTree tree = new RbTree(); for (int i = 0; i < array.length; i++) { RbNode newNode = new RbNode(); newNode.aValue = array[i];  tree.treeInsert(tree, newNode); }  System.out.print("walk tree: "); tree.accessTree(tree.root); System.out.println();
 }}

------结束------