AGC005做题小记

Posted 2020-11-16 vexoben

比赛链接:AGC005

C. Tree Restoring

题意

给出树上每个节点到其它节点的最远距离，问是否可能。

$ n ≤ 100 $ 。

题解

离一个点最远的节点是直径两端点之一。

先把直径上的点切出来。剩余的点判断一下是不是在 $ lceil frac{d}{2} ceil +1 $ 和 $ d + 1 $ 之间即可。

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D. ~K Perm Counting

题意

计数 $ n $ 个数全排列个数，使得 $ abs(a_i - i) ≠ K $

$ 2 ≤ N ≤ 2000， 1 ≤ K ≤ N ? 1 $ 。

题解

不妨先考虑 $ K = 1 $ 怎么做。

记恰有 $ i $ 个位置不合法的方案数为 $ f_i $ , $ g_i $ 为有不少于 $ i $ 个位置不合法，但是恰有 $ j $ 个位置不合法的情况会被算 $ dbinom{j}{i} $ 次的方案数。

于是有 $ g_i = sum_{j = i}^{n} dbinom{j}{i} f_j $

二项式反演得 $ f_i = sum_{j = i}^{n} (-1)^{j - i} g_j $

我们要计算的就是 $ f_1 $

考虑 $ g $ 如何计算。 $ g_i $ 实际上是钦定 $ i $ 个位置不合法，其余位置随便放的方案数。

$ dp_{i, j, a, b} $ 表示前 $ i $ 个数， 已经钦点了 $ j $ 个位置不合法， $ i $ 和 $ i + 1 $ 有没有被用于钦定。

转移有三种情况:不钦定；钦定 $ i+1 $ 的位置放 $ i+2 $ ；钦定 $ i+1 $ 的位置放 $ i $ 。注意如果是不钦定，我们不用理会 $ i+1 $ 这个位置放了什么数。因为如果我们最终钦定了 $ j $ 个数，我们认为剩下 $ n-j $ 个数可以随意放置。

于是我们得到 $ g_i = (n - i)! dp_{n, j, 0/1, 0} $

当 $ K ≠ 1 $ 的时候，我们对序列做一点处理：把所有模 $ K $ 相同的数放在一起。除了有些位置放 $ i+1 $ 是合法的，其余的情况和 $ K=1 $ 相同。

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E. Sugigma: The Showdown

题意

给定 $ n $ 个节点， $ n-1 $ 条红边和 $ n-1 $ 条蓝边。红边和蓝边分别组成一棵树。A从点X出发，只能走红边；B从点Y出发，只能走蓝边。两人轮流走，可以不走，当两人走到同一点时游戏结束。A先走且要最大化游戏步数；B后走且要最小化游戏步数。输出游戏结束时进行的步数。如果不会结束输出- $ 1 $ 。

$ 2 ≤ N ≤ 200000 $ 。

题解

这题的关键在于：游戏是否结束取决于A是否能走到一条红边 $ (u, v) $ 的端点，且 $ u, v $ 在蓝树上的距离不小于 $ 3 $ 。

如果能走到，A可以在这两条边来回走，B永远抓不到它。

如果不能走到，能使用的红边连接蓝树上距离不超过 $ 2 $ 的点。A无法离开B所在的子树。这时A会跑到一个能跑到且离Y最远的点等死。

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F. Many Easy Problems

题意

给定 $ n $ 个点的树，对于每个 $ k $ ，对于每种选择 $ k $ 点的方案，求出包含这 $ k $ 个点最小导出连通子图点数之和。

$ 2 ≤ N ≤ 200000 $ 。

题解

考虑每个点对 $ ans_k $ 的贡献。

不妨设根为 $ u $ ，选出 $ k $ 个点后，点 $ u $ 在子图中，当且仅当 $ k $ 个点的LCA为 $ u $ 。

如果 $ u $ 孩子的子树大小分别为 $ size_1, size_2, .. size_m $ ，那么 $ u $ 对 $ ans_k $ 的贡献是 $ dbinom{n}{k} - sum_{i=1}^{m}dbinom{size_i}{k} $

记以 $ 1, 2, .. , n $ 为根时， $ size = i $ 的子树个数和为 $ cnt_i $ ，那么

[ ans_k = ndbinom{n}{k} - sum_{i = 1}^{n} cnt_idbinom{i}{k} =ndbinom{n}{k}-frac{1}{k!}sum_{i = 1}^{n}cnt_i*i!*frac{1}{(i-k)!} ]

这样就可以NTT优化了。

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