2018南京区域赛G题 Pyramid——找规律&&递推

Posted 2020-11-16 lfri

先手动推出前10项，再上BM板子求出递推式 $A_n = 5A_{n-1} - 10A_{n-2} + 10A_{n-3} - 5A_{n-4} + A_{n-5}$，根据特征根理论可求出特征方程 $(x-1)^5$，设 $A_n = k_1n^4 + k_2n^3 + k_3n^2+k_4n+k_5$，代入前5项求出系数（用了高斯消元法解方程组）。

这样虽然做出来了，但是感觉比较浪费时间，因为BM板子和高斯消元法的板子都不短，对手残狗不友好。

差分

首先前７项分别为1  5 15 35 70 126 210

0  1  5  15  35  70  126  210      dn=(n*n*n*n + 2*n*n*n - n*n - 2*n)/24   //第一项为0
  1  4  10 20  35   56   84        cn=n*n*n/6 + n*n/2 + n/3
    3  6  10  15  21  28           bn=n*n/2 + 3n/2 + 1
      3  4   5   6   7             an=n+2
       1   1   1   1              

如果采用差分法，能直接发现通项为最高次为4的多项式，待定系数就可以了。（快了好多啊）

当然，待定系数懒得解方程组。其实我们可以较容易的从上求出通项。

例如，

易知 $a_n = n+2$，

$b_2 - b_1 = 3$

$b_3 - b_2 = 4$

$vdots$

$b_n - b_{n-1} = n+1$

所以 $displaystyle b_n-b_1 = sum_{i=1}^{n-1}a_i = sum_{i=1}^{n-1}i+2 = frac{n^2}{2} + frac{3n}{2} + 1$

同理 $c_{n}-c_1 = sum_{i=1}^{n-1}b_i$，$d_{n}-d_1 = sum_{i=1}^{n-1}c_i$

中间只涉及平方和、立方和公式，比较简单。

 

 

参考链接：https://blog.csdn.net/qq_41746268/article/details/90601779