给定数组最近的排列

Posted 2021-03-27

题

我有两个整数A[]和B[]数组。数组B[]是固定的，我需要找到A[]的排列，其排列尺寸小于B[]，排列最接近B[]。我的意思是：

for i in（0 <= i <n）abs（B [i] -A [i]）最小，A[]应小于B[] lexiographically。

例如：

A[]={1,3,5,6,7}

B[]={7,3,2,4,6}

所以，A[]最接近B[]的排列是

A[]={7,3,1,6,5}

我的方法

尝试A[]的所有排列，然后将其与B[]进行比较。但时间的复杂性将是(n! * n)

那么有什么方法可以优化这个吗？

编辑

n可以和10^5一样大

为了更好地了解

答案

首先，构建一个有序的A不同元素计数图。

然后，向前遍历数组索引（0到n-1），从此映射中“撤消”元素。在每一点上，有三种可能性：

• 如果i < n-1，并且可以选择A[i] == B[i]，那么这样做并继续向前迭代。
• 否则，如果可以选择A[i] < B[i]，请为A[i] < B[i]选择最大可能值。然后选择所有后续数组索引的最大可用值。 （此时你不再需要担心维持A[i] <= B[i]，因为我们已经在A[i] < B[i]的索引之后了。）返回结果。
• 否则，我们需要回溯到可以选择A[i] < B[i]的最后一个索引，然后使用上一个项目符号中的方法。 请注意，尽管需要回溯，但这里最糟糕的情况是三次传递：一次使用第一个项目符号点中的逻辑传递，一次向后传递回溯以找到A[i] < B[i]可能的最后一个索引，然后是最终使用第二个项目符号中的逻辑进行前向传递。

由于维护有序映射的开销，这需要O（n log m）时间和O（m）额外空间，其中n是A的元素总数，m是不同元素的数量。 （由于m≤n，我们也可以将其表示为O（n log n）时间和O（n）额外空间。）

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请注意，如果没有解决方案，那么回溯步骤将一直到达i == -1。如果发生这种情况，您可能希望引发异常。

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编辑添加（2019-02-01）：

在一个现已删除的答案中，גלעדברקן以这种方式总结了目标：

要在字典上缩小，数组必须有一个从左到右的初始可选部分，其中A[i] = B[i]以元素A[j] < B[j]结尾。为了最接近B，我们希望最大化该部分的长度，然后最大化数组的剩余部分。

因此，考虑到这个总结，另一种方法是做两个单独的循环，其中第一个循环确定初始部分的长度，第二个循环实际填充A。这相当于上述方法，但可以使代码更清晰。所以：

1. 构建A不同元素计数的有序映射。
2. 初始化initial_section_length := -1。
3. 遍历数组索引0到n-1，从此映射中“撤消”元素。对于每个指数： 如果可以选择A的尚未使用的元素小于B的当前元素，则将initial_section_length设置为等于当前数组索引。 （否则，不要。） 如果不可能选择一个尚未使用的A元素，它等于B的当前元素，那就突破这个循环。 （否则，继续循环。）
4. 如果initial_section_length == -1，那么没有解决方案;举一个例外。
5. 重复步骤＃1：重新构建有序地图。
6. 迭代从0到initial_section_length-1的数组索引，从地图中“撤回”元素。对于每个索引，选择一个尚未使用的A元素，该元素等于B的当前元素。 （第一个循环确保了这种元素的存在。）
7. 对于数组索引initial_section_length，选择A中最大的尚未使用的元素，该元素小于B的当前元素（并从地图中“撤回”它）。 （第一个循环确保了这种元素的存在。）
8. 迭代从initial_section_length+1到n-1的数组索引，继续从地图中“撤回”元素。对于每个索引，选择尚未使用的A的最大元素。

这种方法与基于回溯的方法具有相同的时间和空间复杂性。

另一答案

n!有A[n]排列（如果有重复元素则少）。

在范围0..n!-1上使用二元搜索来确定A[]（arbitrary found example）的第k个词典排列，其与B[]最接近。

也许在C ++中你可以利用std::lower_bound

另一答案

根据您的问题的评论部分中的讨论，您寻找一个完全由向量A的元素组成的数组 - 在字典顺序中 - 最接近向量B。

对于这种情况，算法变得非常简单。这个想法与@ruakh的答案中已经提到的相同（虽然他的回答是指你问题的更早和更复杂的版本 - 仍然显示在OP中 - 因此更复杂）：

• 排序A.
• 循环在B上并选择最接近B [i]的A元素。从列表中删除该元素。
• 如果A中的元素没有小于或等于B [i]，则选择最大的元素。

这是基本的实现：

#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>

auto get_closest_array(std::vector<int> A, std::vector<int> const& B)
{
    std::sort(std::begin(A), std::end(A), std::greater<>{});

    auto select_closest_and_remove = [&](int i)
    {
        auto it = std::find_if(std::begin(A), std::end(A), [&](auto x) { return x<=i;});
        if(it==std::end(A))
        {
            it = std::max_element(std::begin(A), std::end(A));            
        }
        auto ret = *it;
        A.erase(it);
        return ret;
    };

    std::vector<int> ret(B.size());
    for(int i=0;i<(int)B.size();++i)
    {
        ret[i] = select_closest_and_remove(B[i]);
    }
    return ret;
}

应用于OP中的问题得到：

int main()
{
    std::vector<int> A ={1,3,5,6,7};
    std::vector<int> B ={7,3,2,4,6};

    auto C = get_closest_array(A, B);

    for(auto i : C)
    {
        std::cout<<i<<" ";
    }
    std::cout<<std::endl;
}

并显示

7 3 1 6 5

这似乎是理想的结果。