归并排序详解

Posted 2021-03-26 fusiwei

浅谈归并排序

排序算法有很多，今天让我说一说：

冒泡选择和插入，希尔基数和堆桶；

还有快排很好写，STL大法没得说。

还有一个叫归并，时间稳定不爆锅。

—— 一个会说相声的博主的引言

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相比于一些复杂度不太稳定的排序算法（比如快排，最坏的时候会退化成(O(n^2))级别的）或者时间稳定但是本来就是(O(n^2))级别的（汗），归并排序的好处就是将时间复杂度妥妥地控制在(O(nlogn))级别，在数据量很大的情况下会比(O(n^2))算法快很多。但是我们在设计程序的时候，的确一般都用快排（因为码量少，STL，退化的概率实在是很低）。所以归并排序在这个时候显得很是鸡肋。但是为了更高远的目标（用归并排序来理解分治思想，二分手段），或者了解一下归并排序的小技巧，还是非常有用的。

归并排序的概念

归并排序，顾名思义就是一种“递归合并”的排序方法（这个理解很重要）。对于一个数列，我们把它进行二分处理，依次递归下去，然后将小范围的数进行排序，最后将其合并在一起。就实现了归并排序。

这实际上是运用了分治思想，显然，想要把一个数列排好序，最终达到的目的就是它的任何一部分都是有序的。这样的话，我们可以考虑分别把数列分成N多个部分，让每个部分分别有序，然后再将其统一，变成所有的东西都有序。这样就实现了排序。这个想法就叫分治思想。

语言总是无力的，还是看图更容易理解一些：

（图片来自简书）

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归并排序的实现

通过看图和读文。我们发现：归并排序其实只有两种操作：

分治排序，子序列合并。

通过对刚才的归并排序概念的理解，我们很容易得出，归并排序可以用递归实现。而递归的手段或者说是依据，就是二分。

在放代码之前，我先来简单捋一下实现归并排序的大致思路。

在开始归并排序之前，我们需要一个辅助数组。这个辅助数组的作用可以参照上图中下半部分的那些方块（后面又被退回去的那些），也就是说，这个数组存的元素是临时的，只是起保存原数组的元素以不至于丢失的作用。（所以最后还要置零）

递归开始：我们用两个指针（变量表示数组下标）来表示左半部分的第一个元素和右半部分第一个元素。判断这两个指针对应的数的大小。如果左面小，就在辅助数组里加上当前左指针所指的元素的同时右移左指针。同理，如果右面小，就在辅助数组里加上当前右指针所指的元素的同时右移右指针。然后，当我们退出循环的时候，肯定是左边的跑完了或者右边的跑完了，那么剩下的那些元素一定是比当前元素都大的东西，这个时候我们依次往里加就可以，最后，把已经处理好的辅助数组映射回原数组，同时辅助数组置零。

看不懂没关系，要是我第一次学归并排序，我也看不懂...如有不懂的小伙伴可以结合代码理解：

void merge_sort(int l,int r)
{
    if(l==r)
        return;
    int mid=(l+r)>>1;
    merge_sort(l,mid);
    merge_sort(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid && j<=r)
    {
        if(a[i]<=a[j]) 
            b[k++]=a[i++];
        else
            b[k++]=a[j++];
    }
    while(i<=mid)
        b[k++]=a[i++];
    while(j<=r)
        b[k++]=a[j++];
    for(int p=l;p<=r;p++)
        a[p]=b[p],b[p]=0;
}

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归并排序求逆序对

说实话，我觉得前面讲的这些全是在为这个部分做铺垫：

先放一波啥是逆序对...

对于一个数列(a)，假如(a[i]>a[j])并且(i<j)，那么这个(a[i],a[j])就叫做这个数列的一个逆序对。

简单理解一下：假如本来这个数列是单调递增的，突然出来了一对不和谐的，它非要皮一下，两个数调换一下位置。那么这个不和谐的数对就叫做逆序对。

归并排序是求逆序对的一个常见并好用的手段。其实另一种手段是树状数组，我会在另一篇博客细谈：

求逆序对的两种方式

首先来放结论：如果在归并排序过程中，出现(a[i]>a[j])，那么就会产生(mid-i+1)个逆序对。

很奇妙吧？下面来讲证明：

因为我们做归并排序是用到了分治的思想，最后的操作其实就是递归回溯，从小到大地合并，所以这个时候，我们的两个子序列（即(l-mid)，(mid+1-r)其实都是已经排好序的），这个时候，出现了一个不和谐的(a[i])，说明从这个数一直到(a[mid])的所有数都是不和谐的。我们直接累加就好。

代码只需要在模板归并排序的基础上再加一行即可：（已经用(Attention)标明）

void merge_sort(int l,int r)
{
    if(l==r)
        return;
    int mid=(l+r)>>1;
    merge_sort(l,mid);
    merge_sort(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid && j<=r)
    {
        if(a[i]<=a[j]) 
            b[k++]=a[i++];
        else
        {
            b[k++]=a[j++];
            ans+=mid-i+1;//Attention
        }
    }
    while(i<=mid)
        b[k++]=a[i++];
    while(j<=r)
        b[k++]=a[j++];
    for(int p=l;p<=r;p++)
        a[p]=b[p],b[p]=0;
}