小球与盒子

Posted 2021-03-26 last-diary

小球与盒子

首先感谢 (wqy) 在 (2018) 年初赛之前出这道题目来帮助我们提高组合数学的能力。 虽然我当时太菜，并没有去做

前置知识是组合数和排列数的公式以及原理和简单乘法原理，所以请提前百度。

要用到的公式：

[A_n^r=frac{n!}{(n-r)!}]

[C_{n}^{m}=frac{n !}{m !(n-m) !}]

需要注意的是，排列数与组合数的区别就是选出来的元素是否可以区分。

比较简单的都是带 (C) 限制的，所以我们先看带 (C) 限制的。

(LUC) 和 (UUC)

观察 (LUC) 和 (UUC) 因为盒子是没有区别的，所以一个球无论放在哪个盒子里都一样，所以只有两种情况， (n>m) 显然是 (0) ，否则就是 (1) 。

(ULC)

我们发现盒子是有标号的，而球是没有标号的，所以放在所有的球放的盒子不同结果肯定不一样，所以就是相当于给你 (m) 个盒子，让选 (n) 个放球，答案就是 (C_m^n) 。

(LLC)

我们可以发现现在球也有标号，就相当于再求组合数的时候要求选出来的也是有序的，这就是排列数，所以答案就是 (A_n^m) 。

(LLA)

再看一种比较简单的情况， (LLA) 的答案直接就是 (m^n) ，就相当于你第一个球有 (m) 种放法，第二个也是如此，一共有 (n) 个球，就是 (n) 个 (m) 相乘，所以答案就是 (m^n) 。

还有几种用组合数学可以解决的情况。

(ULB)

盒子是有标号的，而且每一个盒子都要有一个球，所以可以用插板法，就是相当于在 (m) 个球的 (m-1) 个空隙里，加入 (n-1) 个板，分为 (n) 个集合。所以答案就是 (C_{n-1}^{m-1}) 。

为什么 (ULB) 可以用插板法来解决呢？？

首先，使用插板法，要插板的东西必须是没有区别的，因为插板法只能控制两个板中东西的数量，如果两个板中间的东西有标号的话，显然会算少。

但是如果选出来的集合再没有标号的话，也是错误的。

因为 ((1,2)) 和 ((2,1)) 被当成两种情况去计算了，而如果选出来的集合再没有标号的话，这就是一种情况。

(ULA)

这个看起来和上面的 (ULB) 毫无关联，其实这个是可以转化为 (ULB) 的情况，可以先将每一个盒子都先放上一个球，然后就成了 (ULB) ，答案是 (C_{n+m-1}^{m-1}) 。

下面的几种情况都是需要用 (DP) 来解决的。

前三个问题是用第二类斯特林数来解决的。

第二类斯特林数（简称为 (S_2)）的定义为将 (n) 个物体划分成 (k) 个非空的没有区别的集合的方法数，大致就是把 (n) 个不同的小球放入 (m) 个相同的盒子中（且盒子不能为空）的方案数。递推公式为

(S_2[i][j]=S_2[i-1][j] * j+S_2[i-1][j-1]) （(S_2[i][j]) 表示将前 (i) 个小球放在前 (j) 个盒子里的方案数）

第一个转移是在前面的 (j) 个盒子里任意找一个盒子放上这个球，第二个转移是找一个新盒子来放这个球。

(UUB)

根据上面第二类斯特林数的定义，所以 (UUB) 就是 (S_2[n][m]) 。

(ULB)

我们发现 (ULB) 只是将没有去区别的盒子变成了有区别的，所以我们只需要在 (S_2[n][m]) 的基础上乘上 (m!) 就可以了。就是相当于盒子有 (m!) 种放置方法，然后每种都有 (S_2[n][m]) 种可能性。

(ULA)

因为盒子在 (UUB) 的状态下是无序的，所以哪个盒子为空没有区别，我们直接枚举有几个盒子不放就可以了，答案就是

[sum_{i=1}^{m} S_2[n][i]]

(UUB)

直接在 (ULB) 的基础上除一个 (m!) 是错误的。

我们考虑 (DP) ，设 (P[i][j]) 表示将 (i) 个球放在 (j) 个盒子里，所有盒子都不为空的方案数。

[P[i][j]=P[i-1][j-1]+P[i-j][j]]

第一个转移表示新开一个盒子去放当前这个球，第二个表示在每一个盒子里都放上一个球。

其实这个有一个名字叫划分数，所以答案就是 (P[n][m]) 。

(UUA)

这个也可以和上面 (ULB) 转 (ULA) 一样，在每个盒子里先都先放上一个球，然后答案就是 (P[n+m][m]) 。