一条线段引发的思考

Posted 2021-03-26 darkvalkyrie

这周拿到一道有趣的题，决定写篇blog记录一下。

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问题描述如下：

在一条长度为1的线段上任取两个点，求这两个点表示的线段的期望长度。

这道题有很多种解法，非常有意思。

首先，对于期望，它是这么个东西：

(E(X)=sum_{i=0}^n p_ix_i)，其中(E(X))表示事件(X)的期望，(p_i)表示情况(x_i)出现的概率，(n)为情况总数。

用人话讲就是事件(X)所有情况的平均值，简称均值。

解法一：

正统解法，概率。

如果学过高数，可以很容易转换成数学模型：

设 (x in [0,1],yin[0,1])，求(mid x-ymid)的均值。

可以看到(x,y)属于连续性随机变量且服从均匀分布。显然有当(mid x-y mid)为某一定值(t)时，该情况成立时(x,y)构成的点集在坐标轴上形成两条直线(x-y=t,-y+x=t)。考虑所有情况，我们只需对所有情况进行积分即可，即求两直线在(xin[0,1],yin[0,1])围成的面积。

解法二：

排列组合。

想象在一段区间上取点，我们把该区间分为(n-1)段，即共(n)个点组成的方案选择问题。那么，对于一段长度为(tin[0,n])的区间，它能够取的情况数是(2*(n-t))。总共的能取的区间总数为(2*C_n^2+n-1)，即(n^2)。所以期望就是
[ frac{2*sum_{i=0}^n (n-t)*t}{n^2} ]
将其转化为实数域上的问题，并将(n=1)代入，化简后得
[ 2int_0^1 (x-x^2)dx ]

当然你不积分，直接等差数列求和也行。

类似于此种解法，我们还可以从一个点所能取到的方案数入手，而不是一段区间(t)，最后的结论也是一样的。

解法三：

鬼畜做法，古典概型。

设该区间被三个端点(x,y,z)分为两段，实际上我们所要解决的问题就是：任取两个点(x,y)，并使(z)落在(xsim y)之间。

只有两种情况成立，即(x<z<y,y<z<x)，于是
[ frac{2}{3!} ]
做完了。