FFT与字符串

Posted 2021-03-26 pupuvovovovo

有的题目十分毒瘤，会让我们求一个字符串中有多少位满足某些性质，这个时候显然SAM等无能为力，可能需要使用FFT来进行统计（当然也有可能是乱搞）。

基本思想

以字符串匹配为例进行一些解释。

现在我们有两个字符串 (S,T) ，长度分别为 (n,m) ，求 (T) 在 (S) 中匹配上的各个位置的起点。

首先有显然性质 (S[i,i+m)=TLeftrightarrow sum_{j=0}^{m-1}(S_{i+j}-T_j)^2=0) 。然后对每一个 (i) 都这么做：

[ sum_{i=0}^{n-m}sum_{j=0}^{m-1} (S_{i+j}-T_j)^2=sum_{i=0}^{n-m}sum_{j=0}^{m-1}(S_{i+j}^2+T_j^2+2S_{i+j}ast T_j) ]

目前这个还不是标准卷积形式，但是我们只要令 (t_i=T_{m-1-i}) ，上式就可以写成：

[ sum_{i=0}^{n-m}sum_{j=0}^{m-1}(S_{i+j}^2+t_{m-1-j}^2+2S_{i+j}ast t_{m-1-j}) ]

这就好了，可以用FFT。

例题

重复的东西就不必再写一遍了。

看CF954I。