抽象函数的单调性证明
Posted wanghai0666
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了抽象函数的单调性证明相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
前言
一般来说,对于函数的单调性的证明方法,可以使用定义法和导数法,但是导数法往往需要依托解析式,故对抽象函数的单调性的证明方法,就只能使用定义法了。比如需要证明增函数,常常令(x_1<x_2),然后想办法证明(f(x_1)-f(x_2)<0);
注意涉及抽象函数的单调性的变形技巧;
典例剖析
分析:令(x_1<x_2in R),则(x_2-x_1>0),故(f(x_2-x_1)<1);
则有(f(x_2)-f(x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1]-f(x_1))(=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1-f(x_1))(=f(x_2-x_1)-1<0),
即(f(x_2)<f(x_1)),
由(x_1<x_2in R),以及(f(x_2)<f(x_1)),故函数(f(x))在(R)上单调递减。
注意变形:(f(x_2)=f[(x_2-x_1)+x_1]=f(x_2-x_1)+f(x_1)-1)
分析:令(0<x_1<x_2),则(cfrac{x_2}{x_1}>1),故(f(cfrac{x_2}{x_1})<0);
则有(f(x_2)-f(x_1)=f[(cfrac{x_2}{x_1})cdot x_1]-f(x_1))(=f(cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1)-f(x_1))(=f(cfrac{x_2}{x_1})<0),
故函数(f(x))在((0,+infty))上单调递减。
注意变形:(f(x_2)=f[(cfrac{x_2}{x_1})cdot x_1]=f(cfrac{x_2}{x_1})+f(x_1))
(1)求(f(1));
分析:赋值法,令(m=n=cfrac{1}{2}),则(f(1)=2f(cfrac{1}{2})+cfrac{1}{2}=cfrac{1}{2});
(2)判断函数(f(x))的单调性,并证明。
分析:令(m=n=0),则得到(f(0)=-cfrac{1}{2}),
令(m=-n),则(f(m-m)=f(m)+f(-m)+cfrac{1}{2}),则(f(m)+f(-m)=-1),
令(m=cfrac{1}{2}),由(f(m)+f(-m)=-1)和(f(cfrac{1}{2})=0),得到(f(-cfrac{1}{2})=-1)
令(x_2>x_1),则(x_2-x_1>0),则(x_2-x_1+cfrac{1}{2}>cfrac{1}{2}),则(f(x_2-x_1+cfrac{1}{2})>0)
则(f(x_2)-f(x_1)=f[(x_2-x_1)+x_1]-f(x_1)=f(x_2-x_1)+f(x_1)+cfrac{1}{2}-f(x_1))
(=f(x_2-x_1)+cfrac{1}{2}=f[(x_2-x_1+cfrac{1}{2})+(-cfrac{1}{2})]+cfrac{1}{2})
(=f(x_2-x_1+cfrac{1}{2})+f(-cfrac{1}{2})+cfrac{1}{2}+cfrac{1}{2}=f(x_2-x_1+cfrac{1}{2})-1+1)
(=f(x_2-x_1+cfrac{1}{2})>0),即(f(x_2)>f(x_1)),
故函数(f(x))在(R)上单调递增。
解后反思:为了利用条件(x>cfrac{1}{2})时,(f(x)>0),故变形(f(x_2-x_1)=f[(x_2-x_1+cfrac{1}{2})+(-cfrac{1}{2})])
以上是关于抽象函数的单调性证明的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章