数论

Posted 2021-03-25 zengpeichen

这是数论专区的第一部分，同时也是最简单的一部分。

Part 1：符号表示&约定

以下是可能用到的符号：

$max(a,b)$：$a$ 与 $b$ 的较大值

$min(a,b)$：$a$ 与 $b$ 的较小值

$lfloor a floor$：实数 $a$ 下取整的值

$lceil a ceil$：实数 $a$ 上取整的值

$mid a mid$：数 $a$ 的绝对值

$a mid b$ ：数 $b$ 被 $a$ 整除

$a mid b$：数 $b$ 不被 $a$ 整除

$a ≡ b$ $( ext{mod } c)$ ：$a$ 与 $b$ 模 $c$ 同余

$gcd(a,b)$：数 $a$ 和数 $b$ 的最大公约数

$lcm(a,b)$：数 $a$ 和数 $b$ 的最小公倍数

$a$ $!$ ： 数 $a$ 的阶乘的值

约定：

$overline{abc}$ 表示一个三位整数，$a,b,c$ 分别代表百位，十位，个位的数值。

不特殊说明的情况下，数字默认为十进制整数。

Part 2：整除

从易到难。

① 说明某个位数之和是 $3$ 倍数的数一定能被 $3$ 整除。

分析：

　　有一个简单的结论：若 $k mid a$，$k mid b$，那么 $k mid a + b$，此处不详细说明。

　　我们从任意三位数 $overline{abc}$ 开始。

　　易知，$overline{abc}=100a+10b+c$，且这个数的数字和为 $a+b+c.$

　　将两个值作差，得 $99a+9b=3cdot(33a+3b)$，所以它是 $3$ 的倍数。

　　当 $3 mid a+b+c$ 且 $3 mid 99a+9b$ 时，它们的和 $100a+10b+c$ 也一定是 $3$ 的倍数，故任意三位数满足该结论。

　　用同样的方法，把三位数扩展成任意位数，即可证明所有位数的数均满足该结论。

② 证明形同 $overline{abcabc}$ 的六位数一定能被 $7,11,13$ 整除。

分析：

　　我们将数字变形一下，可以变为 $1001 cdot overline{abc}.$

　　因为 $1001=7 imes 11 imes 13$，所以 $1001$ 可以被这三个数整除。

　　因为 $1001 cdot overline{abc}$ 是 $1001$ 的倍数，所以它也可以被这三个数整除。

③ 已知 $19 mid 3m+4n$，求证：$19 mid 7m+3n.$

分析：

我们设 $3m+4n=19k$，$k∈Z.$

那么，$4n=19k-3m.$

所以：

$$7m+3n$$
$$=7m+frac{3cdot (19k-3m)}{4}$$
$$=frac{57k+19m}{4}$$
$$=frac{19}{4} cdot (3k+m)$$

由于 $gcd(19,4)=1$，且 $3k+m$ 是整数，所以 $19 mid 7m+3n.$