组合数变换

Posted 2021-03-25 chasedeath

基本变换

递推式

[ C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)]

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组合数完全累和

[ sum_{i=0}^n C(n,i) =2^n]

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$sum -> C() $型

我们熟知的有

[ sum_{i=1}^{n}1=n = C(n,1)]

[ sum _{i=1}^{n} sum_{j=i+1}^{n} 1= sum_{i=1}^{n-1}i=n cdot (n-1)/2]

更一般的

[underbrace {sum sum ... sum} 1 =C(n,k)]

[ (k个sum) ]

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$ ... ?cdot C(n,i)$型

$ sum i cdot C(n,i) $

$ = sum {i cdot frac{n!}{i! cdot (n-i)!}}$

$ = sum { frac{n!}{(i-1)! cdot (n-i)!}}$

(=sum {n cdot frac {(n-1)!} {(i-1)! cdot (n-i)!}})

(=ncdot sum C(n-1,i-1))

同理的

[sum i*(i-1)*C(n,i)=n cdot (n-1) cdot sum C(n-2,i-2)]

带入还能得到

[sum i^2 cdot C(n,i) = n cdot (n-1) cdot sum C(n-2,i-2)+n cdot sum C(n-1,i-1) ]

更一般的，可以表示成
[ sum C(i,k) cdot C(n,i) =C(n,k) cdot sum C(n-k,i-k)]

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多组合数相乘型

(sum_{i=0}^{k} C(n,i)*C(m,k-i) = C(n+m,k))

其实就是两个组合问题的组合，可以直接通过实际意义得到

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Lucas定理

$ C(n,m) mod p = C(n mod p,m mod p) cdot C(n / p, m/p) mod p$

预处理阶乘逆元后，可以用于解决模数较小而(n,m)较大的组合数问题

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组合数前缀和

令 (S(n,m)=sum_{i=0}^{m} C(n,i))

(S(n,m)+S(n,m+1))

(=sum_{i=0}^{m}(C(n,i)+C(n,i+1))+C(n,0))

(=sum C(n+1,i+1)+C(n,0)) (带入递推公式)

(=S(n+1,m+1))

又(ecause S(n,m)+S(n,m+1)=2*S(n,m+1)-C(n,m+1))

( herefore S(n,m)=2*S(n-1,m)-C(n-1,m))

(待补。。。)