计算几何 val.1

Posted 2021-03-25 lcyfrog

目录

• 计算几何 val.1
  • 向量的点积
  • 向量的叉积
  • 一种奇怪的三角剖分求面积
  • 凸包
  • 点绕点旋转
  • 后记

计算几何 val.1

本文并不是入门文章，供有高中数学基础的阅读

主要写一些重要的点和注意事项吧

向量的点积

• 如果两个向量同向（共线），那么它们的数量积为他们的模长之积。
• 如果两个向量夹角 (<90^circ) ，那么它们的数量积为正。
• 如果两个向量夹角 (=90^circ) ，那么他们的数量积为 (0) 。
• 如果两个向量夹角 (>90^circ) ，那么它们的数量积为负。
• 如果两个向量反向（共线），那么它们的数量积为他们的模长之积的相反数

这个可以判断它们的夹角

向量的叉积

几何意义：两向量由平行四边形法则围成的面积

叉乘满足的基本的性质如下:

1. (vec{a}×vec{a}=0) 因为夹角是0, 所以平行四边形面积也是0, 即叉积长度为0
2. (vec{a}×vec{b}=?(vec{b}×vec{a})), 等式两边的叉积等大反向, 模长因为平行四边形不变而相同, 方向因为右手法则旋转方向相反而相反
3. ((λvec{a})×vec{b}=λ(vec{a}×vec{b})), 这点比较好想, 因为: ①正数λλ数量乘不会影响a的方向, 所以左右的叉积方向一样; 负数(λ)使得(a)反向了, 但也使得左右叉积方向相反. ②对a进行缩放, 平行四边形面积也同等缩放.
4. ((vec{a}+vec{b})×vec{c}=vec{a}×vec{c}+vec{b}×vec{c})

(vec{a}×vec{b}) 的正负可以理解为 (vec{a})转到(vec{b})的逆时针形成的角，(leq pi)为正，否则为负

可以判断一些东西（凸包），求距离

一种奇怪的三角剖分求面积

在这里学到的

(S_{ABCDEF}=frac{overrightarrow{OA} imes overrightarrow{OB}+overrightarrow{OB} imes overrightarrow{OC}+dots +overrightarrow{OF} imes overrightarrow{OA}}{2})

凸包

用最少的周长覆盖所有点的多边形

性质：一定没有凹陷（可以用叉积判了）

叉积坐标公式的证明：

设
[ T_1=sqrt{x_1^2+y_1^2},T_2=sqrt{x_2^2+y_2^2} ]
则
[ S=T_1*T_2*sin heta=sinalpha-eta=sinalphacoseta-cosalphasineta ]

[ =(frac{y_2}{T_2}*frac{x_1}{T_1}-frac{x_2}{T_2}*frac{y_1}{T_1})*T_1*T_2 ]

[ =x_1*y_2-y_1*x_2 ]

具体方法是先求下凸壳然后再求上凸壳，注意一号点要进去两次比较最后一个点和第一个点，来判断是否弹出最后加进去的点

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath> 
using namespace std;
struct point{
    double x,y;
    double operator * (point b){
        return x*b.y-y*b.x;
    }
    point operator - (point b){
        point re;re.x=x-b.x,re.y=y-b.y;return re;
    }
    point operator + (point b){
        point re;re.x=x+b.x,re.y=y+b.y;return re;
    }
    double dis(){
        return sqrt(x*x+y*y);
    }
};
const int N = 10021;
point p[N],h[N];
int cmp(point a,point b){
    return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;
} 
int n;
int stk[N],tp=0,used[N];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
    }
    sort(p+1,p+n+1,cmp);
    stk[++tp]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        while( tp>1 && (p[stk[tp]]-p[stk[tp-1]])*(p[i]-p[stk[tp]]) <=0 ) used[stk[tp--]]=0;//小于等于为去除凸包边上的点
        used[i]=1;
        stk[++tp]=i; 
    }//下凸壳 
    int ntp=tp;
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        if(!used[i]){
            while(tp>ntp&&(p[stk[tp]]-p[stk[tp-1]])*(p[i]-p[stk[tp]])<=0){
                used[stk[tp--]]=0;
            }
            used[i]=1;
            stk[++tp]=i; 
        }
    }//上凸壳 
    for(int i=1;i<=tp;i++){
        h[i]=p[stk[i]];
    }//tp和1是同一点 
    double ans=0;
    for(int i=2;i<=tp;i++){
        ans+=(h[i]-h[i-1]).dis();
    }
    printf("%.2f",ans);
    return 0;
} 

点绕点旋转

考虑成 点+向量之差等于要求的点

向量之差也等于绕中心旋转的向量的差，三角恒等变换算一算就行

后记

就先这么多吧。。。

明天目标：旋转卡壳+半平面交