Lucas定理的运用及组合数奇偶性的判断

Posted 2021-03-25 larry-zero

组合数奇偶性的判断 对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数。

 

最直观的方法就是计算一下，然后看它的奇偶性；但是这个时间以及数据范围上都不允许；

另外一种方法就是，对于给定C(n,m)，检查n中2因子的个数与m和(n-m)中2因子个数和的关系，假设n!中2因子个数为a，m!中2因子个数为b，(n-m)!中2因子个数为c，则显然有a>=(b+c)；并且当a==b+c时，一定为奇，否则为偶。题意转化为求a和b+c。求一个阶乘中含有的素因子i的个数的方法可以参见Knuth的具体数学，方法是显而易见的。但是有的时候，这种方法仍然太慢（比如TOJ的一道题目，要判断5000000次），更快的方法是什么呢？

方法三：由方法2可以很容易地看出，n!中含有2因子的个数等于(n-它的二进制形式中1的个数)（每除一次如果有1的话去掉一个1）。那么题意再次转化为求m,n-m以及n的二进制形式中1的个数。或者说，看n&m ?= m，这个呢，如果等于，那么也就意味着，所有m中为1的位置n一定为1，那么n-m就可以直接用二进制减，这样得到的差的二进制中1的个数

对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数，否则为偶数

第二种方法————Lucas定理