「考试」小P的生成树

Posted 2021-03-25 lrefrain

考场上想到一半正解，没想到随机化，不然也许能够$A$掉。

题目所说的其实就是向量加法，求模长最长的向量生成树。

我们考虑对于两个向量，必然在平行边形对角线方向上，他们的投影和是最大的，长度就是对角线长度。

如果精度开到$1e-3$我们完全可以枚举最终的和向量的角度，因为只有在对角线，也就是正确的方向上，向量的模长才是最大的，所以也就是说即使枚举的角度不可构成，它得出的解也必然不是最优解。

但是精度开的很高，枚举复杂度过高了。（随机化角度就能A）

接着考虑对于某条向量有两种表达形式：

1.$(alpha,eta)$也就是坐标表示。

2.$(varphi,iota)$其中$iota=sqrt{alpha^2+eta^2}$，也就是极角模长表示。

向量在某个单位向量$( heta)$上的投影$len$就是：

$$len=cos(varphi- heta)iota$$

其中:

$$cos{varphi}=frac{x}{iota},sin{varphi}=frac{y}{iota}$$

$$egin{array}{rcl}\len &=& cos(varphi- heta)iota\ &=& (cos{varphi}cos{ heta}+sin{varphi}sin{ heta})iota\&=&(frac{x}{iota}cos{ heta}+frac{y}{iota}sin{ heta})iota\&=&cos{ heta}x+sin{ heta}yend{array}$$

然后可以求出两个向量投影相等时候的角度。

求出这个角度，发现它满足的条件是：

$$x_1cos{ heta}+y_1sin{ heta}=x_2cos{ heta}+y_2sin{ heta}$$

那么:

$$ an{ heta}=frac{y_2-y_1}{x_1-x_2}$$

$$ heta=arctan{frac{y_2-y_1}{x_1-x_2}}+(pi)$$

然后我们知道克鲁斯卡尔的过程，只跟边的相对大小有关系，那么其实只需要枚举$m^2$个角度即可，在这些角度中间不会发生生成树边决策改变，那么这些角度就足够了。

最终复杂度$O(m^2logm)$