图匹配问题中的几个定理

Posted 2021-03-25 gyhhaha

概念：

• 奇连通分支：图$G$中含有奇数个点的连通分支，记$circ (G)$为奇连通分支的个数
• $Tutte$条件：$forall S subseteq V(G)$，有$circ (G-S) le vert S vert$

$Tutte$定理：图$G$存在完美匹配$iff$满足$Tutte$条件

• 充分性：设图$G$在去除$S$后，被割裂为$circ (G)$个奇连通分支与一些偶连通分支，而每一个奇连通分支不可能存在内部的完美匹配，即必至少存在$S$内的一个点与该分支  内的点相连作为该匹配中的某条边，故满足$Tutte$条件.
• 必要性：由任意性，可先令$S=varnothing$，则$circ (G-S)=circ (G)le vert S vert =vertvarnothingvert=0$，即$vert V(G)vert$为偶数。若此时$G$是完全图，则必然存在完美匹配；若$G$不是完全图，则令$G‘=G+e$（但不允许另加顶点），由于$forall S subseteq V(G‘)=V(G)$，有$circ (G‘-S) le circ (G-S) le vert S vert$，故$G’$还满足$Tutte$条件，由此可用反证法：设$G$为满足$Tutte$条件但没有完美匹配的边数尽可能多的图（此处指在$G$中任意再加一条边则会有完美匹配）。情况一：