『数论』求最大公因数

Posted 2021-03-25 nicoppa

//#define fre yes

#include <cstdio>

int gcd(int a, int b) {
    if(b != 0) gcd(b, a % b);
    else return a;
}

谈论数论不废话 ----- 辗转相除法求gcd

以上代码的时间复杂度为 (O(log n))

证明，为何 (gcd(b, a mod b) = gcd(a, b))

设 (g = gcd(a, b)) 那么一定有 (a = xg , b = yg) 我们又可以将 a 用 b 来表示，（任何数都可以用另外一个数表示） (a = kb + r)（(k) 为 (a / b) 的整数部分，(r) 为 (a / b) 的余数部分 也就是 (a mod b)），转化一下(r = a - kb) 那么将上面的 a, b 代入，也就变成了 (r = xg - kyg = (x - ky)g) 此时的 g 也是 r 的因数了，又因为 (r) 为 (a mod b) 所以 (gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)) 证毕