gcd

Posted 2021-03-25 yanxiujie

内容：

(gcd(a,b)=gcd(b,a\% b))

用途：

这不废话嘛，当然是用来求最大公约数啊

证明：(这还是四月份的时候cdx巨佬给我讲的qwq)

设(d=gcd(a.b))
则有(a=md,b=nd), (Rightarrow) (a-b=(m-n)d)
(ecause) (m)与(n)互质
( herefore) ((m-n))与(n)互质
( herefore) (gcd((m-n)d,nd)=d)即(gcd(a-b,b)=d)
( herefore) (gcd(a,b)=gcd(a-b,b))
( herefore) (gcd(a,b)=gcd(a\%b,b))

关于为什么(m-n)与(n)互质：
证明：假设(m-n)不与(n)互质，有(gcd(m-n,n)=p,p eq 1)
则(m-n=xp,n=yp)
( herefore) (m=(x+y)p)
( herefore) (a=md=(x+y)pd,b=nd=ypd)
( herefore) (a,b)有公约数(pd)
$ecause $ (gcd(a,b)=d)
( herefore) (p=1)与假设矛盾
故(m-n)与(n)互质

Code：

int gcd(int x, int y) {
    return y == 0 ? x : gcd(y, x % y);
}

谢谢收看，祝身体健康！