广义差分

Posted 2021-03-25 littlewyy

前言

对于许多区间操作的题目，差分是普遍且好用的技巧，在此做个归纳整理

例题1

luogu 3943

题意

给定1个长度为(n)的01数组，其中1的个数为(k)。

你可以进行(m)种操作，第(i)种操作的长度为(l_i)，表示可以将长度为(l_i)的区间异或1。

询问最少需要多少次操作，使得整个数组变成0。

(1 leq k leq 8 , 1 leq n leq 4 imes10 ^4 , 1 leq m leq 64)

题解

直接做的话是没法做的，对整个区间异或，各区间相互交叉影响复杂，无从入手。

考虑转化问题，将区间异或转化成对区间端点的异或。即广为人知的差分思想，便于简化问题。

具体地，可以结合异或的性质进行处理。假设我们求出原数组的差分数组（即(d[i] = a[i] xor a[i - 1])）；那么我们对原数组的区间([l,r])进行异或可以等价于(d[l] = d[l] xor 1 , d[r + 1] = d[r + 1] xor 1)，目标结果(a[1 ightarrow n] = 0)可以等价于(d[1 ightarrow n + 1] = 0)。

由此，问题得以转化：在1个01数组上有不超过(2k leq 16)个1。每次操作可以选择其中的两个位置(x,y)，令(d[x] = d[x] xor 1 , d[y] = d[y] xor 1)，前提是(y - x in L)。询问最少操作次数，令(d[i])全部为0。

1的个数很少，因而不难想到1个状压dp的框架，设(f[s])表示将(s)集合的1全部变成0的最小操作次数，转移时先找到第1个1，枚举哪1个1跟它匹配，相应转移。复杂度(O(s imes 2k))。

问题转化为如何计算任意2个1都变为0的最小代价。

有一种看起来相当有理有据的做法。不妨从(y - x in L)进行迁移，若(y - x = l_1 + l_2)，同样可以相消，依据是1个位置异或2次不变，故可以实现区间的拼接；类推下去，我们可以将(L)集合看作若干物品，有(l_i)和$-l_i (两种价值，求解填充)y - x$的最少物品数目。但存在某些严重的问题（感谢Epworth），我们做完全背包时，对于正价值和负价值的物品是要分开处理的，这样一来我们没法确定价值上限；另外，即使价值上限开得足够大也是错的，因为我们实际的翻转，左端点不能小于1，右端点不能大于n + 1，而基于相对位置的方案则没有考虑这一点，没法根据绝对位置进行调整。因而是错误的。

假若两个1之间可以使用1次规则，则最小代价为1；否则这2个1需要若干个规则联合消去。具体地，若1个规则应用于1个0和1个1上，则相当于将1传到了0的位置上，则问题转化为该1新的位置与另1个1匹配。可以发现该问题具有传递性，可以构图处理。具体地，我们从各个位置出发，根据已有的规则将其与可匹配位置连边；则两个位置间的最小代价即为这两个位置在图上的最短路径长度，由于边权全部为1，可用BFS处理，时间复杂度(O(2knm))。

代码见此

相关练习

luogu 4552

题意

给定1个长度为(n)的序列，你每次可以选定1个任意长度的区间，使得整个区间加1或减1。

询问最少的操作次数，使得整个区间全部相同。并询问在操作次数最少的前提下，最终数列的数的种类数。

(1 leq n leq 10^5)

题解

首先求出原数组的差分数组(diff[i] = a[i] - a[i - 1])；区间加可转换为(diff[l] ++,diff[r + 1] --)，区间减可转化为(diff[l] -- , diff[r + 1] ++)。当(r = n)时，仅(diff[l] --)有效。

最终目的是(diff[1] = a[1] ,forall i in[2,n] ,diff[i] = 0)，求最小操作次数。

考虑每次操作的影响：(l = 1)时没有意义；(l eq 1 且 r eq n)时可以改变2个(diff)；(l eq 1且l = n)可以改变1个(diff)。

各个元素是独立的，当(diff)变为0时就没有操作的必要。故优先考虑双向成全的操作，即对1个正数和1个负数进行操作；最终只剩下正数或只剩下负数时，再用(l eq 1且l = n)进行处理，即可知最小操作次数。公式可以(O(n))求，即$diff[2 ightarrow n] (中，正数的之和)up(与负数之和)dow$的绝对值的最大值。

考虑改动(diff[1])的情况，(diff[1])每变化1，至多能使$diff[2 ightarrow n] (的操作次数减1，总操作次数不变。具体地，设)lim = abs(up + dow)$ ，若(diff[1])的变化量小于等于(lim)，则总操作次数不变；否则总操作次数一定变大。

最优解的方案数为(lim + 1)。时间复杂度(O(n))。代码见此