图的最短路径和拓扑排序

Posted 2021-03-25 xiaozhongfeixiang

图的最短路径

从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点所经过的路径中，各边上权值之和最小的一条路径叫做最短路径

图的最短路径有许多重要的应用。

例如：上图中v0-v8有9个点，可以看做不同的地点，现在要规划出v0到其它某个点地点的最短路线规划

构建最短路径中比较常见的一种算法即为dijstra(迪杰斯特拉)算法

二、dijstra(迪杰斯特拉)算法

 

究竟什么是迪杰斯特拉算法？它是如何寻找图中顶点的最短路径呢？

这个算法的本质，是不断刷新起点与其他各个顶点之间的 “距离表”。

让我们来演示一下迪杰斯特拉的详细过程：

 

第1步，创建距离表。表中的Key是顶点名称，Value是从起点A到对应顶点的已知最短距离。但是，一开始我们并不知道A到其他顶点的最短距离是多少，Value默认是无限大：

 

 

 

 

第2步，遍历起点A，找到起点A的邻接顶点B和C。从A到B的距离是5，从A到C的距离是2。把这一信息刷新到距离表当中：

 

 

 

 

第3步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点C。

第4步，遍历顶点C，找到顶点C的邻接顶点D和F（A已经遍历过，不需要考虑）。从C到D的距离是6，所以A到D的距离是2+6=8；从C到F的距离是8，所以从A到F的距离是2+8=10。把这一信息刷新到表中：

 

 

 

 

接下来重复第3步、第4步所做的操作：

第5步，也就是第3步的重复，从距离表中找到从A出发距离最短的点（C已经遍历过，不需要考虑），也就是顶点B。

第6步，也就是第4步的重复，遍历顶点B，找到顶点B的邻接顶点D和E（A已经遍历过，不需要考虑）。从B到D的距离是1，所以A到D的距离是5+1=6，小于距离表中的8；从B到E的距离是6，所以从A到E的距离是5+6=11。把这一信息刷新到表中：

 

 

 

 

（在第6步，A到D的距离从8刷新到6，可以看出距离表所发挥的作用。距离表通过迭代刷新，用新路径长度取代旧路径长度，最终可以得到从起点到其他顶点的最短距离）

第7步，从距离表中找到从A出发距离最短的点（B和C不用考虑），也就是顶点D。

第8步，遍历顶点D，找到顶点D的邻接顶点E和F。从D到E的距离是1，所以A到E的距离是6+1=7，小于距离表中的11；从D到F的距离是2，所以从A到F的距离是6+2=8，小于距离表中的10。把这一信息刷新到表中：

 

 

 

 

第9步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点E。

第10步，遍历顶点E，找到顶点E的邻接顶点G。从E到G的距离是7，所以A到G的距离是7+7=14。把这一信息刷新到表中：

 

 

 

第11步，从距离表中找到从A出发距离最短的点，也就是顶点F。

第10步，遍历顶点F，找到顶点F的邻接顶点G。从F到G的距离是3，所以A到G的距离是8+3=11，小于距离表中的14。把这一信息刷新到表中：

就这样，除终点以外的全部顶点都已经遍历完毕，距离表中存储的是从起点A到所有顶点的最短距离。显然，从A到G的最短距离是11。（路径：A-B-D-F-G）

 

代码实现：

package cn.itcast.grape;


import cn.itcast.treeandgrape.Graph;

public class JavaDijstra {
    private final static int MAXVEX = 9;//顶点，以后不需要写死
    private final static int MAXWEING = 65535;//（最大）权重
    private int shortTablePath[] = new int[MAXVEX];//存储V0到某顶点最短路径的权值和 例：{0,1,5}

    /**
     * 获取一个图的最短路径
     */
    public void shortestPathDijstra(Graph graph) {
        int min;//最小值
        int k = 0;//记录下标
        boolean isgetPath[] = new boolean[MAXVEX];//是否已经拿到了V0到Vm的最短路径

        for (int v = 0; v < graph.getVertexSize(); v++) {//遍历顶点数量
            shortTablePath[v] = graph.getMatrix()[0][v];//获得V0这一行的权值数组
        }
        shortTablePath[0] = 0;//V0到V0的距离是0， 拿到数据后，不必往回走
        isgetPath[0] = true;
        for (int v = 1; v < graph.getVertexSize(); v++) {//横向
            min = MAXWEING;//初始化
            for (int w = 0; w < graph.getVertexSize(); w++) {//纵向，对找出来的顶点一个一个遍历
                if (!isgetPath[w] && shortTablePath[w] < min) {
                    k = w;
                    min = shortTablePath[w];
                }
            }
            isgetPath[k] = true;
            for (int j = 0; j < graph.getVertexSize(); j++) {
                if (!isgetPath[j] && (min + graph.getMatrix()[k][j] < shortTablePath[j])) {
                    shortTablePath[j] = min + graph.getMatrix()[k][j];
                }
            }
        }
        for (int i = 0; i < shortTablePath.length; i++) {
            System.out.println("V0到V" + i + "的最短路径为：" + shortTablePath[i] + "
");
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Graph graph = new Graph(MAXVEX);
        graph.createGraph();
        JavaDijstra dijstra = new JavaDijstra();
        dijstra.shortestPathDijstra(graph);
    }
}