2019.10.22 校内CSP%你赛

Posted 2021-03-25 qxds

我太难了

先说好没有代码T1

题目大意：

给定一些形如|ax+b|的式子，求最小的x使得它们的和最小。

算法一：

大家知道零点分段法 对于这n个式子我们有n+1个取值范围 使得展开这n个式子得到的新式子不同

而对于每一个形成的式子，因为我们有这个x的取值范围，所以我们可以在O(1)的复杂度求出它的最小值。

而我们从最左边的取值范围开始，对于相邻的两个取值范围我们可以用O(1)的复杂度转移，即我们可以用O(n)遍历所有可能形成的n个式子，每个算一下答案即可。

需要注意的是，对于所有a[i]=0，我们需要去除这些点，将对应的b[i]加成一个常量，随后加在ans上。

还需要注意的是，当a<0时，我们通过把a和b分别取绝对值得到a>0的等价的式子，这样便于处理。

算法二：

我们容易知道，|ax+b|是一个下凸函数，而这些|ax+b|的和因为是一个新的|ax+b|，所以依然是一个下凸函数。

所以我们考虑三分或者爬山法，得到x的取值即可。

 

T2

题目大意：

给定一个有向图y，求构造一个有向图使得每条边起点编号比终点小，且1号点到n号点恰好有y条路径。子任务满足n越小越分多。

我们先构造一个64个节点的完全图，这样从1-63号节点到64号节点的贡献依次是2^63,2^62,2^61……2^0.

也就是说我们先连1-64，此时1-64有一种方案，再往图里加入63号点，补全完全图，此时加了一种方案，再加62号点，加了2种方案……以此类推。

我们再新建一个0号节点作为起点，将y快速幂分解，从向分解出的2^k1,2^k2……的k1,k2……对应的完全图中的节点连边即可。

 

T3

题目大意：

给定一段序列，旋转其中一段连续子序列后可以得到一个新的序列，设新的序列中有x个数满足a[i]=i（a[i]是序列中是的数），求不同旋转方案下最大的x。

我们旋转一段子序列时有一个旋转中心，对于每个旋转中心可以对应的旋转子段，设其为[l,r]，则对于有效的旋转子段，必有a[l]==r&&a[r]==l，否则它没有[l+1,r-1]更优；

所以我们把所有有效的旋转子段按照旋转中心为关键字排序，同时再给每个旋转中心开一个vector存储其所有有效的子段，其中这些子段按照从短到长排序；

对于一个子段，将其分为三部分:

(1)[1,l);

(2)[l,r];

(3)(r,n]。

（1）（3）两部分因为旋转前后不变，所以我们分别利用前缀、后缀数组存储其答案贡献，查询复杂度为O(1)；

（2）部分中，因为每个子段距离上一个更新的子段只多出了一个新的答案贡献（a[l]==r&&a[r]==l），所以该子段（2）部分的答案为2*k，其中k是其在该旋转中心的vector内的位置。

所以只需要扫描所有的[l,r]即可在O(1)的复杂度内检查出其答案。总复杂度O(n)。

 

T4

题目大意：

给定一段序列，设好的子序列是一段连续子序列满足其中所有数互质，求该序列中好的子序列的个数。

我们知道互质的本质是不存在相同的质因子，所以我们先用欧拉筛筛出所有质数；

而我们从头扫描所有[l,r]，用book数组记录该序列中出现过的质因子，每次加入一个新的数就判断它是否含有这些质因子，若有，则该序列不好。分解一个数的质因子需要的复杂度是O(logn)。

总复杂度O(nlogn)。

 

我。果然。越来越能口hu了。