浅谈单位根反演

Posted 2021-03-25 cjjsb

Preface

我发现我现在学一个新算法总是把相关题目做完了才来写233

单位根反演总的来说不是一个非常难的姿势，但是确实解决某些问题的必要前提

它可以在(O(k))的时间内求一个数列（或是生成函数）所有下标是(k)的倍数的点值和

以下的一些基础姿势例如单位根的性质及求法等以下不再赘述

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Formula

先上单位根反演的公式：

[[k|n]=frac{1}{k}sum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni}]

我们来考虑证明这个公式，分类讨论：

若(k|n)，那么：

[frac{1}{k}sum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni}=frac{1}{k}sum_{i=0}^{k-1}(omega_k^n)^i=frac{1}{k}sum_{i=0}^{k-1}omega_k^0=1]

若(k ot| n)，那么根据等比数列求和有：

[frac{1}{k}sum_{i=0}^{k-1}omega_k^{ni}=frac{1}{k}(omega_k^0cdot frac{omega_k^0-omega_k^{kn}}{1-omega_k^n})]

由于其分子为(1-1=0)，因此该公式成立

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Others

有些时候我们只知道(k|n)的点值和还不够，比如说我们要知道下标(mod k=r)的点值和

考虑通过函数的平移来解决问题，如果我们此时将该序列的生成函数乘上(x^{-r})再套用上面的方法就可以得到答案了

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Example

给几道简单点的例题练练手吧

• LOJ #6485. LJJ 学二项式定理 生成函数+单位根反演 sol
• BZOJ 3328: PYXFIB 生成函数+单位根反演 sol
• UOJ #450. 【集训队作业2018】复读机 生成函数+单位根反演 sol

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Postscript

最近感悟到了生成函数之美，因此最近的做题方向也在想着数学题的方向靠近吧233