容斥法解决错排问题

Posted 2021-03-25 wxyww

错排问题

简单来说，错排问题就是问有多少个长度为(n)的排列(p)，使得对于所有的(iin [1,n])都有(i eq p_i)。

递推式

错排的一个递推式就是(f(n)=n(f(n-1)+f(n-2)))

这个递推式复杂度显然是线性的。

关于这个递推式的推导请自行百度。这里不再赘述。

容斥法解错排问题

第一次看到错排问题的时候，并没有推导出上面的递推式。而是用了一种容斥的方法。自认为更加简单易懂吧。

既然是每个数字都不能放在对应的位置。那么按照容斥的一般套路，我们强制有(i)个数字放在了对应位置。其他数字不管他。显然这(i)个数字有(C(_n^i))种方案。其他数字有((n-i)!)种排列方式。

所以式子就很显然了:

[f(n)=sumlimits_{i=0}^n(-1)^iC(_n^i)(n-i)! \ =sumlimits_{i=0}^n(-1)^ifrac{n!}{i!}]

复杂度同样也是线性的。

其实可以发现，用容斥继续推下去的话，依然可以推出上面的递推式。所以这两种解法本质上是等价的。