contest20191023

Posted 2021-03-25 liankewei

slz的题 KCN

雨中的晴天

宫水三叶生活的城市是一个一维平面上的城市。三叶喜欢用一个长度为n的线段来表示这座城市。线段上（包含端点）平均分布着 $n+1$ 个点，其中第 $i$ 个点到第 $i+1$ 个点视为第 $i$ 个区。

最近，这座城市不断的下雨，一直没有放晴，所有人都在期待的晴天。不同的区对晴天的渴望度不一样。三叶通过统计，将第 $i$ 个区的人对晴天的渴望度形式化成 $s_i$ 。

终于，这座城市迎来了久违的晴天。但是晴天的范围没有覆盖整个城市，而是从 $n+1$ 个点中的某一个出发，向往扩散 $d$ 个区。

在晴天下的人们非常开心。形式化的，如果第 $i$ 个区在晴天的覆盖范围内，并且和晴天中心还隔着 $x$ 个区，那么这个区的人的开心值为 $(d-x)^2 cdot s_i$ 。这个城市的开心值为每一个区的开心值之和。

虽然晴天的地点已经固定了，但是三叶还是想知道如果晴天的地点可以任选，那么最后城市的开心值最大是多少？

 

sol

有两段，可以分开考虑

每一段形如$  s_i imes 1+s_{i+1} imes 4+s_{i+2} imes 9+...+s_{i+d-1} imes d^2 $

往前移动时，更新的值与原来的值差形如 $ sum 2 imes (i+x) imes s_i$ x为常数

预处理维护即可。

 

 

燃烧的火焰

宫水三叶擅长手工，她自己编织了一张网。

这张网可以用一个 $n$ 个点 $m$ 条边的连通图来表示，每一条边都有长度。

但是这张网毕竟是可燃物。某一天，网上的 $k$ 个节点在 $0$ 时刻突然同时被点燃了，火焰以单位速度沿着边向外扩散。具体来说，如果有一条长度为 $l$ 的边连接着点 $x,y$ ，假设第 $i$个 时刻 $x$ 节点被点燃了，那么在 $i+l$ 的时刻 $y$ 节点也会被点燃。反之也是成立的。

如果整张图的 $n$ 个节点全部被点燃了，那么就认为这张图完全被点燃了。

既然着火了，那么首要任务就是救火。三叶请小`H`来帮忙。在 $0$ 时刻时，小`H`随机选择了若干个已经被点燃的点，将它们扑灭。但是，小`H`扑灭了那些点后并没有使整张图完全被点燃的时间推晚！

三叶觉得小`H`运气太差了，于是她想知道这个事件的概率。

形式化的说，小`H`有 $2^k$ 种灭火方案（包含一个都不选）。假设小`H`随机从中选一种，有多少概率选到的灭火方案没能使整张图完全被点燃的时间推晚。

假设在没有灭火时整张图完全被点燃从时刻 $a$ 开始，灭火后整张图完全被点燃从时刻 $b$ 开始，而没能使整张图完全被点燃的时间推晚的方案当且仅当 $a=b$ 。

sol

考虑dij