P5431 模板乘法逆元2

Posted 2021-03-25 darkvalkyrie

卡常毒瘤题。交了一页的我。

首先容易想出暴力的做法，直接逆元累加，复杂度(O(nlogn))。

for(register int i=1;i<=n;++i){
        ll a=read();
        ans=(ans%p+qp(k,i)*qp(a,p-2)%p)%p;
    }

我第一次交就直接这样子，憨憨，连(k)都不优化一下。

作为一道毒瘤题，她（指鱼鱼）怎么可能这么简单地就让你过了呢（详见讨论）？？

我们需要寻找线性复杂度算法。

首先考虑为什么渐进复杂度里有个(log)，是因为每次累加我们都(O(logn))地求了逆元。

换个思路，如果我们把所求式子都通分，先把分子乘起来，最后再乘上(sum_{i=1}^na_i pmod p)的逆元，不就不用除那么多次了吗。

设(s=sum_{i=1}^na_i)，则有
[ sumlimits_{i=1}^nfrac{k^i}{a_i}=sum_{i=1}^nfrac{k^i*(frac{s}{a_i})}{s} ]
但是分子又出现了除法，如果直接求逆元又退化到了(O(nlogn))。考虑维护(a)的前缀、后缀积(h[],t[])，那么(frac{s}{a_i}=h[i-1]*t[i+1])。预处理之后即可线性求解。

for(register int i=1;i<=n;++i){
        ans=(ans+k*(h[i-1]*t[i+1]%p))%p;
        k=(k*q)%p;
    }

这样。

卡卡常，多用int，少%，这道题就惨痛地A了。