知识点：错排

Posted 2021-03-25 loney-s

公式

$cp_i=(i-1)*(cp_{i-1}+cp_{i-2})$

证明

容斥可以比较容易的证明
正整数的全排列有$n!$种情况，其中第i位是i的情况为$(n-1)!$
即共有$sum_{i=1}^{n}(n-1)!$，但是所求的是错排序列，
即需要将错排1个的加上，错排2个的减去······
之后
$cp _i=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+······+(-1)^{n}n!/n!$
$cp_i=n!(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+······+(-1)^n/n!)$
最后
$$cp_i=(i-1)*(cp_{i-1}+cp_{i-2})$$