Tarjan算法总结

Posted 2021-03-25 gaozhuoyuan

Tarjan算法总结

关于学习

《算法竞赛进阶指南》

前言

Tarjan算法能在线性时间内求出无向图的割点和桥，进一步可求出无向图的双连通分量。并且能在有向图中求出有向图的强连通分量、必经点和必经边。
只打算给自己复习用,233.

Tarjan算法

几个定义：
时间戳：其实就是dfs序
在图的深度优先遍历过程中，按照每个节点第一次被访问的时间顺序，
依次给予 N 个节点 1-N 的整数标记，该标被称为时间戳，记为 dfn[u]
追溯值：
设 subtree(u) 表示搜索中以 x 为根的子树
low[u] 是下述所有节点时间戳的最小值

1. 是 subtree(u) 中的节点
2. 通过一条不在搜索树上的边，可以到达 subtree(u) 的节点

关于追溯值的计算：
先令(low_u = dfn_u)
v 没有被访问过，(low[u]=min(low[u], low[v]))
v 被访问过了，(low[u]=min(low[u], dfn[v]))

Tarjan算法结束,

无向图的割点和桥

割点定义：

给定无向连通图 G=(V,E)
若对于 x ∈ V，从图中删去节点 x 以及所有与 x 关联的边后，G 分裂成两个或两个以上不相连的子图，则称 x 为 G 的割点

若 u 不是搜索树的根节点 (深搜起点)，则 x 是割点当且仅当搜索
树上存在 v 的一个子节点 v 满足：
dfn[u] ≤ low[v]
? 若 u 是搜素树的根节点，则 u 是割点当且仅当搜索树上存在至少
两个子节点 v 1 ,v 2 满足上述条件

桥定义：

若对于 e ∈ E，从图中删去边 e 后，G 分裂成两个不相连的子图，
则称 e 为 G 的桥或割边

无向边 (u,v) 是桥，当且仅当搜索树上存在的 u 的一个子节点 v 满足:
dfn[u] < low[v]

无向图割点和桥的例题

例题

BZOJ1718
BZOJ2730
逃不掉的路
HDOJ3686
POJ2762
BZOJ2438