概率与数学期望初步

Posted 2021-03-24 peter0701

前置定义

(1.) 样本点：一个随机试验中可能出现的某种结果。

(2.) 样本空间：一个随机试验中所有样本点的并集。

(3.) 随机事件：若干个样本点的并集，样本空间的一个子集。

(4.) 随机变量：样本点映射成的一个实数。分离散型和连续型两种。

(5.) 离散型随机变量：取值有限或可数的随机变量。

概率

设样本空间为 (Omega) ，若对于每个随机事件 (A) 都存在一个实值函数 (P(A)) 满足 (P(A) geqslant 0,P(Omega)=1) 且对于 (i) 个互斥事件 (A_1,A_2,A_3, cdots cdots A_i) 有 (sum_limits{j in [1,i]} P(A_i)=P(cup A_i)) ，则称 (P(A)) 是事件 (A) 发生的概率。概率的实际意义是对某个事件发生的可能性的度量，是一个取值在 ([0,1]) 内的实数。

期望

对于一个随机变量 (X) ，假设其共有 (x_1,x_2,x_3, cdots cdots x_i) 等 (i) 种取值，且每种取值 (x_j(j in [1,i])) 可表示成一个随机事件 (X=x_j) 出现的概率 (P(X=x_j)=p_j) ，则称随机变量 (X) 的数学期望为 (E(x)=sum_limits{j in [1,i]} p_j imes x_j) 。期望的实际意义是某个随机变量所有取值与出现概率的乘积和。

期望的基本性质（重点）

期望是一个线性函数（不是积性！不是积性！！不是积性！！！），满足 (E(a imes x+b imes y)=a imes E(x)+b imes E(y)) 。也即和的期望等于期望的和。
这是在 (OI) 中期望计算的两大依据之一（另一大是期望的定义），也是用递推法计算期望的重要（甚至是决定性）根据。

牛刀小试

(1.) 绿豆蛙的归宿