Codeforces 1163E Magical Permutation [线性基，构造]

Posted 2021-03-24 p-b-p-b

codeforces

思路

我顺着图论的标签点进去的，却没想到……

可以发现排列内每一个数都是集合里的数异或出来的。

考虑答案的上界是多少。如果能用小于(2^k)的数构造出([0,2^k-1])内所有的数，那么答案就对这个(k)取(max)。很显然这一定是上界。

考虑能不能构造出一组解。把([1,2^k-1])的数拎出来插入线性基里得到一组极大线性无关组，那么显然它的(size)就是(k)。由于它线性无关，所以任意选取一个子集得到的异或和都不会相同，所以考虑把(0)放在左边，然后每次异或上线性无关组里的一个元素，取遍所有集合。

取集合可以递归进行：对于大小为(m)的集合，先把(m-1)的取遍，然后取第(m)个元素，然后再把(m-1)的集合取一遍，就可以保证相邻的集合只有一个位置不同，并且所有集合两两不同。

代码

#include<bits/stdc++.h>
clock_t t=clock();
namespace my_std{
    using namespace std;
    #define pii pair<int,int>
    #define fir first
    #define sec second
    #define MP make_pair
    #define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
    #define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
    #define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
    #define templ template<typename T>
    #define sz 303030
    typedef long long ll;
    typedef double db;
    mt19937 rng(chrono::steady_clock::now().time_since_epoch().count());
    templ inline T rnd(T l,T r) {return uniform_int_distribution<T>(l,r)(rng);}
    templ inline bool chkmax(T &x,T y){return x<y?x=y,1:0;}
    templ inline bool chkmin(T &x,T y){return x>y?x=y,1:0;}
    templ inline void read(T& t)
    {
        t=0;char f=0,ch=getchar();double d=0.1;
        while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
        while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
        if(ch=='.'){ch=getchar();while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();}
        t=(f?-t:t);
    }
    template<typename T,typename... Args>inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
    char __sr[1<<21],__z[20];int __C=-1,__zz=0;
    inline void Ot(){fwrite(__sr,1,__C+1,stdout),__C=-1;}
    inline void print(register int x)
    {
        if(__C>1<<20)Ot();if(x<0)__sr[++__C]='-',x=-x;
        while(__z[++__zz]=x%10+48,x/=10);
        while(__sr[++__C]=__z[__zz],--__zz);__sr[++__C]='
';
    }
    void file()
    {
        #ifdef NTFOrz
        freopen("a.in","r",stdin);
        #endif
    }
    inline void chktime()
    {
        #ifdef NTFOrz
        cout<<(clock()-t)/1000.0<<'
';
        #endif
    }
    #ifdef mod
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x%mod) if (y&1) ret=ret*x%mod;return ret;}
    ll inv(ll x){return ksm(x,mod-2);}
    #else
    ll ksm(ll x,int y){ll ret=1;for (;y;y>>=1,x=x*x) if (y&1) ret=ret*x;return ret;}
    #endif
//  inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;

int n,K=20,m;
int a[sz],b[sz],lg2[sz];

int lb[sz],cnt;
bool insert(int x)
{
    drep(i,K,0) if (x>>i&1)
    {
        if (!lb[i]) return lb[i]=x,++cnt,1;
        x^=lb[i];
    }
    return 0;
}
int cur;
void dfs(int m)
{
    if (m==0) printf("%d ",cur);
    else dfs(m-1),cur^=b[m],dfs(m-1);
}

int main()
{
    file();
    read(n);
    rep(i,1,n) read(a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    int ans=0;
    rep(i,2,sz-1) lg2[i]=lg2[i>>1]+1;
    for (int k=0,i=1;k<=K;k++)
    {
        while (i<=n&&lg2[a[i]]==k) insert(a[i]),++i;
        if (cnt==k+1) ans=k+1;
    }
    printf("%d
",ans);
    rep(i,0,K) lb[i]=0;
    rep(i,1,n) if (lg2[a[i]]<ans&&insert(a[i])) b[++m]=a[i];
    dfs(m);
    return 0;
}